Resol 4x^2+4x+9=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

Resoleu x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0,5+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,414213562i$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 4 per a, 4 per b i 9 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Eleveu 4 al quadrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Multipliqueu -4 per 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

Multipliqueu -16 per 9.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

Sumeu 16 i -144.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

Calculeu l'arrel quadrada de -128.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

Multipliqueu 2 per 4.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} quan ± és més. Sumeu -4 i 8i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

Dividiu -4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} per 8.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} quan ± és menys. Resteu 8i\sqrt{2} de -4.

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

Dividiu -4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} per 8.

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Resteu 9 als dos costats de l'equació.

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

En restar 9 a si mateix s'obté 0.

$$4x^{2}+4x=-9$$

Dividiu els dos costats per 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

En dividir per 4 es desfà la multiplicació per 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

Dividiu 4 per 4.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

Dividiu 1, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir \frac{1}{2}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre \frac{1}{2} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Per elevar \frac{1}{2} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

Sumeu -\frac{9}{4} i \frac{1}{4} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Simplifiqueu.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

Resteu \frac{1}{2} als dos costats de l'equació.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$