Resol 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

Resoleu n

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75$$

Passos amb factorització per agrupació

Resteu 11 en tots dos costats.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 4n^{2}+an+bn-11. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és negatiu, el número negatiu té un valor més absolut que el positiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -44 de producte.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

La solució és la parella que atorga -7 de suma.

$$a=-11 b=4$$

Reescriviu 4n^{2}-7n-11 com a \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right).

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Simplifiqueu n a 4n^{2}-11n.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Simplifiqueu el terme comú 4n-11 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu 4n-11=0 i n+1=0.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$4n^{2}-7n=11$$

Resteu 11 als dos costats de l'equació.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

En restar 11 a si mateix s'obté 0.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 4 per a, -7 per b i -11 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Eleveu -7 al quadrat.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Multipliqueu -4 per 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Multipliqueu -16 per -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Sumeu 49 i 176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 225.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

El contrari de -7 és 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

Multipliqueu 2 per 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Ara resoleu l'equació n=\frac{7±15}{8} quan ± és més. Sumeu 7 i 15.

$$n=\frac{22}{8}$$

Redueix la fracció \frac{22}{8} al màxim extraient i anul·lant 2.

$$n=\frac{11}{4}$$

Ara resoleu l'equació n=\frac{7±15}{8} quan ± és menys. Resteu 15 de 7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

Dividiu -8 per 8.

$$n=-1$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-7n=11$$

Dividiu els dos costats per 4.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

En dividir per 4 es desfà la multiplicació per 4.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

Dividiu -\frac{7}{4}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{7}{8}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{7}{8} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{7}{8} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Sumeu \frac{11}{4} i \frac{49}{64} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Factoritzeu n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot factoritzar com a \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Simplifiqueu.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Sumeu \frac{7}{8} als dos costats de l'equació.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$