Resol 4(x^2+2x)+1/x^2+2x=-5

$$4 ( x ^ { 2 } + 2 x ) + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 2 x } = - 5$$

Resoleu x

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1\approx -1,866025404$$

$$x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1\approx -0,133974596$$

$$x=-1$$

Passos de solució

La variable x no pot ser igual a cap dels valors -2,0, ja que la divisió per zero no s'ha definit. Multipliqueu els dos costats de l'equació per x\left(x+2\right).

$$4\left(x^{2}+2x\right)x\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 4 per x^{2}+2x.

$$\left(4x^{2}+8x\right)x\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 4x^{2}+8x per x.

$$\left(4x^{3}+8x^{2}\right)\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 4x^{3}+8x^{2} per x+2 i combinar-los com termes.

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1=-5x\left(x+2\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar -5x per x+2.

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1=-5x^{2}-10x$$

Afegiu 5x^{2} als dos costats.

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1+5x^{2}=-10x$$

Combineu 16x^{2} i 5x^{2} per obtenir 21x^{2}.

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+1=-10x$$

Afegiu 10x als dos costats.

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+1+10x=0$$

Torneu a ordenar l'equació per posar-la en forma estàndard. Situeu els termes en ordre, de la potència més gran a la més petita.

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+10x+1=0$$

Per teorema de l'arrel racional, totes les arrels racionals d'un polinomi són de la forma \frac{p}{q}, on p divideix el 1 terme constant i q divideix el coeficient principal 4. Llista de tots els candidats \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Per cercar una d'aquestes arrels, proveu tots els valors enters, començant pel més petit, per valor absolut. Si no es troba cap arrel d'enter, proveu les fraccions.

$$x=-1$$

Per teorema de factors, x-k és un factor del polinomi per a cada k arrel. Dividiu 4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+10x+1 entre x+1 per obtenir 4x^{3}+12x^{2}+9x+1. Resoleu l'equació on el resultat és igual a 0.

$$4x^{3}+12x^{2}+9x+1=0$$

Per teorema de l'arrel racional, totes les arrels racionals d'un polinomi són de la forma \frac{p}{q}, on p divideix el 1 terme constant i q divideix el coeficient principal 4. Llista de tots els candidats \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Per cercar una d'aquestes arrels, proveu tots els valors enters, començant pel més petit, per valor absolut. Si no es troba cap arrel d'enter, proveu les fraccions.

$$x=-1$$

Per teorema de factors, x-k és un factor del polinomi per a cada k arrel. Dividiu 4x^{3}+12x^{2}+9x+1 entre x+1 per obtenir 4x^{2}+8x+1. Resoleu l'equació on el resultat és igual a 0.

$$4x^{2}+8x+1=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu 4 per a, 8 per b i 1 per c a la fórmula quadràtica.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\times 1}}{2\times 4}$$

Feu els càlculs.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{3}}{8}$$

Resoleu l'equació 4x^{2}+8x+1=0 considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1 x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1$$

Llista de totes les solucions trobades.

$$x=-1 x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1 x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1$$