Resol 4x^2-4x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

Resoleu x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 4x^{2}+ax+bx-15. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és negatiu, el número negatiu té un valor més absolut que el positiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -60 de producte.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

La solució és la parella que atorga -4 de suma.

$$a=-10 b=6$$

Reescriviu 4x^{2}-4x-15 com a \left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

2x al primer grup i 3 al segon grup.

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Simplifiqueu el terme comú 2x-5 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu 2x-5=0 i 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 4 per a, -4 per b i -15 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Eleveu -4 al quadrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Multipliqueu -4 per 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Multipliqueu -16 per -15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Sumeu 16 i 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

El contrari de -4 és 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

Multipliqueu 2 per 4.

$$x=\frac{4±16}{8}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{4±16}{8} quan ± és més. Sumeu 4 i 16.

$$x=\frac{20}{8}$$

Redueix la fracció \frac{20}{8} al màxim extraient i anul·lant 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{4±16}{8} quan ± és menys. Resteu 16 de 4.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Redueix la fracció \frac{-12}{8} al màxim extraient i anul·lant 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Sumeu 15 als dos costats de l'equació.

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

En restar -15 a si mateix s'obté 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

Resteu -15 de 0.

$$4x^{2}-4x=15$$

Dividiu els dos costats per 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

En dividir per 4 es desfà la multiplicació per 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

Dividiu -4 per 4.

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

Dividiu -1, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{1}{2}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{1}{2} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{1}{2} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Sumeu \frac{15}{4} i \frac{1}{4} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Simplifiqueu.

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

Sumeu \frac{1}{2} als dos costats de l'equació.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$