Resol 3y^2-11y+10=0

$$3 y ^ { 2 } - 11 y + 10 = 0$$

Resoleu y

$$y=2$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 3y^{2}+ay+by+10. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-11 ab=3\times 10=30$$

Com que ab és positiu, a i b tenen el mateix inici de sessió. Com que a+b és negatiu, a i b són ambdós negatius. Llista de totes les parelles d'enters que donen 30 de producte.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

La solució és la parella que atorga -11 de suma.

$$a=-6 b=-5$$

Reescriviu 3y^{2}-11y+10 com a \left(3y^{2}-6y\right)+\left(-5y+10\right).

$$\left(3y^{2}-6y\right)+\left(-5y+10\right)$$

3y al primer grup i -5 al segon grup.

$$3y\left(y-2\right)-5\left(y-2\right)$$

Simplifiqueu el terme comú y-2 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(y-2\right)\left(3y-5\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu y-2=0 i 3y-5=0.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$3y^{2}-11y+10=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 3 per a, -11 per b i 10 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Eleveu -11 al quadrat.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Multipliqueu -4 per 3.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-12\times 10}}{2\times 3}$$

Multipliqueu -12 per 10.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-120}}{2\times 3}$$

Sumeu 121 i -120.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 1.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±1}{2\times 3}$$

El contrari de -11 és 11.

$$y=\frac{11±1}{2\times 3}$$

Multipliqueu 2 per 3.

$$y=\frac{11±1}{6}$$

Ara resoleu l'equació y=\frac{11±1}{6} quan ± és més. Sumeu 11 i 1.

$$y=\frac{12}{6}$$

Dividiu 12 per 6.

$$y=2$$

Ara resoleu l'equació y=\frac{11±1}{6} quan ± és menys. Resteu 1 de 11.

$$y=\frac{10}{6}$$

Redueix la fracció \frac{10}{6} al màxim extraient i anul·lant 2.

$$y=\frac{5}{3}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$3y^{2}-11y+10=0$$

Resteu 10 als dos costats de l'equació.

$$3y^{2}-11y+10-10=-10$$

En restar 10 a si mateix s'obté 0.

$$3y^{2}-11y=-10$$

Dividiu els dos costats per 3.

$$\frac{3y^{2}-11y}{3}=-\frac{10}{3}$$

En dividir per 3 es desfà la multiplicació per 3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{10}{3}$$

Dividiu -\frac{11}{3}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{11}{6}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{11}{6} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{11}{6} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{121}{36}$$

Sumeu -\frac{10}{3} i \frac{121}{36} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{1}{36}$$

Factor y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Simplifiqueu.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{1}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{1}{6}$$

Sumeu \frac{11}{6} als dos costats de l'equació.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$