Resol 3x-5y=4;9x-2y=7

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

Resoleu x, y

$$x=\frac{9}{13}\approx 0,692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0,384615385$$

Passos per utilitzar la substitució

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor x mitjançant l'aïllament del valor x al costat esquerre del signe igual.

$$3x-5y=4$$

Sumeu 5y als dos costats de l'equació.

$$3x=5y+4$$

Dividiu els dos costats per 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

Multipliqueu \frac{1}{3} per 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Substituïu \frac{5y+4}{3} per x a l'altra equació, 9x-2y=7.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

Multipliqueu 9 per \frac{5y+4}{3}.

$$15y+12-2y=7$$

Sumeu 15y i -2y.

$$13y+12=7$$

Resteu 12 als dos costats de l'equació.

$$13y=-5$$

Dividiu els dos costats per 13.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Substituïu -\frac{5}{13} per y a x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

Per multiplicar \frac{5}{3} per -\frac{5}{13}, multipliqueu el numerador pel numerador i el denominador pel denominador. A continuació, reduïu la fracció als termes més baixos sempre que sigui possible.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

Sumeu \frac{4}{3} i -\frac{25}{39} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x=\frac{9}{13}$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l'equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu x i y.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Per igualar 3x i 9x, multipliqueu tots els termes de cada costat de la primera equació per 9 i tots els termes de cada costat de la segona per 3.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

Simplifiqueu.

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

Resteu 27x-6y=21 de 27x-45y=36 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

Sumeu 27x i -27x. Els termes 27x i -27x s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$-45y+6y=36-21$$

Sumeu -45y i 6y.

$$-39y=36-21$$

Sumeu 36 i -21.

$$-39y=15$$

Dividiu els dos costats per -39.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Substituïu -\frac{5}{13} per y a 9x-2y=7. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

Multipliqueu -2 per -\frac{5}{13}.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

Resteu \frac{10}{13} als dos costats de l'equació.

$$9x=\frac{81}{13}$$

Dividiu els dos costats per 9.

$$x=\frac{9}{13}$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$