Resol 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

Resoleu x

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,666666667$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 3x^{2}+ax+bx+84. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

Com que ab és positiu, a i b tenen el mateix inici de sessió. Com que a+b és negatiu, a i b són ambdós negatius. Llista de totes les parelles d'enters que donen 252 de producte.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

La solució és la parella que atorga -32 de suma.

$$a=-18 b=-14$$

Reescriviu 3x^{2}-32x+84 com a \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

3x al primer grup i -14 al segon grup.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

Simplifiqueu el terme comú x-6 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu x-6=0 i 3x-14=0.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 3 per a, -32 per b i 84 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Eleveu -32 al quadrat.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Multipliqueu -4 per 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

Multipliqueu -12 per 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

Sumeu 1024 i -1008.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 16.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

El contrari de -32 és 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

Multipliqueu 2 per 3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{32±4}{6} quan ± és més. Sumeu 32 i 4.

$$x=\frac{36}{6}$$

Dividiu 36 per 6.

$$x=6$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{32±4}{6} quan ± és menys. Resteu 4 de 32.

$$x=\frac{28}{6}$$

Redueix la fracció \frac{28}{6} al màxim extraient i anul·lant 2.

$$x=\frac{14}{3}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Resteu 84 als dos costats de l'equació.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

En restar 84 a si mateix s'obté 0.

$$3x^{2}-32x=-84$$

Dividiu els dos costats per 3.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

En dividir per 3 es desfà la multiplicació per 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

Dividiu -84 per 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

Dividiu -\frac{32}{3}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{16}{3}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{16}{3} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{16}{3} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

Sumeu -28 i \frac{256}{9}.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Simplifiqueu.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

Sumeu \frac{16}{3} als dos costats de l'equació.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$