Resol 3x^2-11x-4<0

$$3 x ^ { 2 } - 11 x - 4 < 0$$

Resoleu x

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Per resoldre la desigualtat, factoritzeu el costat esquerre. El polinomi quadràtic es pot factoritzar amb la transformació ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), on x_{1} i x_{2} són les solucions de l'equació quadràtica ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}-11x-4=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu 3 per a, -11 per b i -4 per c a la fórmula quadràtica.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Feu els càlculs.

$$x=\frac{11±13}{6}$$

Resoleu l'equació x=\frac{11±13}{6} considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$x=4 x=-\frac{1}{3}$$

Reescriviu la desigualtat mitjançant les solucions obtingudes.

$$3\left(x-4\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)<0$$

Perquè el producte sigui negatiu, x-4 i x+\frac{1}{3} han de ser de signe oposat. Considereu el cas en què x-4 és positiu i x+\frac{1}{3} és negatiu.

$$x-4>0 x+\frac{1}{3}<0$$

Això és fals per a qualsevol x.

$$x\in \emptyset$$

Considereu el cas en què x+\frac{1}{3} és positiu i x-4 és negatiu.

$$x+\frac{1}{3}>0 x-4<0$$

La solució que satisfà les dues desigualtats és x\in \left(-\frac{1}{3},4\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$

La solució final és la unió de les solucions obtingudes.

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$