Resol 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Resoleu x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Passos per utilitzar la substitució

Fixeu-vos en la primera equació. Resteu 6y en tots dos costats.

$$3x+9-6y=0$$

Resteu 9 en tots dos costats. Qualsevol valor restat a zero dóna com a resultat la seva negació.

$$3x-6y=-9$$

Fixeu-vos en la segona equació. Afegiu 12 als dos costats. Qualsevol valor més zero dóna com a resultat el mateix valor.

$$-2x-2y=12$$

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor x mitjançant l'aïllament del valor x al costat esquerre del signe igual.

$$3x-6y=-9$$

Sumeu 6y als dos costats de l'equació.

$$3x=6y-9$$

Dividiu els dos costats per 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Multipliqueu \frac{1}{3} per 6y-9.

$$x=2y-3$$

Substituïu 2y-3 per x a l'altra equació, -2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Multipliqueu -2 per 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Sumeu -4y i -2y.

$$-6y+6=12$$

Resteu 6 als dos costats de l'equació.

$$-6y=6$$

Dividiu els dos costats per -6.

$$y=-1$$

Substituïu -1 per y a x=2y-3. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Multipliqueu 2 per -1.

$$x=-2-3$$

Sumeu -3 i -2.

$$x=-5$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=-5,y=-1$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Fixeu-vos en la primera equació. Resteu 6y en tots dos costats.

$$3x+9-6y=0$$

Resteu 9 en tots dos costats. Qualsevol valor restat a zero dóna com a resultat la seva negació.

$$3x-6y=-9$$

Fixeu-vos en la segona equació. Afegiu 12 als dos costats. Qualsevol valor més zero dóna com a resultat el mateix valor.

$$-2x-2y=12$$

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu x i y.

$$x=-5,y=-1$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Fixeu-vos en la primera equació. Resteu 6y en tots dos costats.

$$3x+9-6y=0$$

Resteu 9 en tots dos costats. Qualsevol valor restat a zero dóna com a resultat la seva negació.

$$3x-6y=-9$$

Fixeu-vos en la segona equació. Afegiu 12 als dos costats. Qualsevol valor més zero dóna com a resultat el mateix valor.

$$-2x-2y=12$$

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Per igualar 3x i -2x, multipliqueu tots els termes de cada costat de la primera equació per -2 i tots els termes de cada costat de la segona per 3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Simplifiqueu.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Resteu -6x-6y=36 de -6x+12y=18 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Sumeu -6x i 6x. Els termes -6x i 6x s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$12y+6y=18-36$$

Sumeu 12y i 6y.

$$18y=18-36$$

Sumeu 18 i -36.

$$18y=-18$$

Dividiu els dos costats per 18.

$$y=-1$$

Substituïu -1 per y a -2x-2y=12. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Multipliqueu -2 per -1.

$$-2x+2=12$$

Resteu 2 als dos costats de l'equació.

$$-2x=10$$

Dividiu els dos costats per -2.

$$x=-5$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=-5,y=-1$$