Resol 3x+2y=8text{and}5x-4y=6

$$3 x + 2 y = 8 \text { and } 5 x - 4 y = 6$$

Resoleu x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Passos per utilitzar la substitució

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor x mitjançant l'aïllament del valor x al costat esquerre del signe igual.

$$3x+2y=8$$

Resteu 2y als dos costats de l'equació.

$$3x=-2y+8$$

Dividiu els dos costats per 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+8\right)$$

Multipliqueu \frac{1}{3} per -2y+8.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

Substituïu \frac{-2y+8}{3} per x a l'altra equació, 5x-4y=6.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)-4y=6$$

Multipliqueu 5 per \frac{-2y+8}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}-4y=6$$

Sumeu -\frac{10y}{3} i -4y.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{40}{3}=6$$

Resteu \frac{40}{3} als dos costats de l'equació.

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{22}{3}$$

Dividiu els dos costats de l'equació per -\frac{22}{3}, que és el mateix que multiplicar els dos costats pel recíproc de la fracció.

$$y=1$$

Substituïu 1 per y a x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x=\frac{-2+8}{3}$$

Sumeu \frac{8}{3} i -\frac{2}{3} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x=2$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=2,y=1$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{1}{11}\times 6\\\frac{5}{22}\times 8-\frac{3}{22}\times 6\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu x i y.

$$x=2,y=1$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Per igualar 3x i 5x, multipliqueu tots els termes de cada costat de la primera equació per 5 i tots els termes de cada costat de la segona per 3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 8,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 6$$

Simplifiqueu.

$$15x+10y=40,15x-12y=18$$

Resteu 15x-12y=18 de 15x+10y=40 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$15x-15x+10y+12y=40-18$$

Sumeu 15x i -15x. Els termes 15x i -15x s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$10y+12y=40-18$$

Sumeu 10y i 12y.

$$22y=40-18$$

Sumeu 40 i -18.

$$22y=22$$

Dividiu els dos costats per 22.

$$y=1$$

Substituïu 1 per y a 5x-4y=6. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$5x-4=6$$

Sumeu 4 als dos costats de l'equació.

$$5x=10$$

Dividiu els dos costats per 5.

$$x=2$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=2,y=1$$