Resol 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

Resoleu n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$n=3$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 3n^{2}+an+bn-15. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és negatiu, el número negatiu té un valor més absolut que el positiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -45 de producte.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

La solució és la parella que atorga -4 de suma.

$$a=-9 b=5$$

Reescriviu 3n^{2}-4n-15 com a \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right).

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

3n al primer grup i 5 al segon grup.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

Simplifiqueu el terme comú n-3 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu n-3=0 i 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 3 per a, -4 per b i -15 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Eleveu -4 al quadrat.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multipliqueu -4 per 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multipliqueu -12 per -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Sumeu 16 i 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 196.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

El contrari de -4 és 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Multipliqueu 2 per 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Ara resoleu l'equació n=\frac{4±14}{6} quan ± és més. Sumeu 4 i 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

Dividiu 18 per 6.

$$n=3$$

Ara resoleu l'equació n=\frac{4±14}{6} quan ± és menys. Resteu 14 de 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

Redueix la fracció \frac{-10}{6} al màxim extraient i anul·lant 2.

$$n=-\frac{5}{3}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Sumeu 15 als dos costats de l'equació.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

En restar -15 a si mateix s'obté 0.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

Resteu -15 de 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

Dividiu els dos costats per 3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

En dividir per 3 es desfà la multiplicació per 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

Dividiu 15 per 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

Dividiu -\frac{4}{3}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{2}{3}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{2}{3} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{2}{3} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Sumeu 5 i \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Factor n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Simplifiqueu.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Sumeu \frac{2}{3} als dos costats de l'equació.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$