Resol 3n^2+3n+1=1141

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

Resoleu n

$$n=-20$$

$$n=19$$

Passos amb factorització per agrupació

Resteu 1141 en tots dos costats.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Resteu 1 de 1141 per obtenir -1140.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Dividiu els dos costats per 3.

$$n^{2}+n-380=0$$

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a n^{2}+an+bn-380. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és positiu, el número positiu té més valor absolut que el negatiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -380 de producte.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

La solució és la parella que atorga 1 de suma.

$$a=-19 b=20$$

Reescriviu n^{2}+n-380 com a \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right).

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

n al primer grup i 20 al segon grup.

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

Simplifiqueu el terme comú n-19 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu n-19=0 i n+20=0.

$$n=19 n=-20$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Resteu 1141 als dos costats de l'equació.

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

En restar 1141 a si mateix s'obté 0.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Resteu 1141 de 1.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 3 per a, 3 per b i -1140 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Eleveu 3 al quadrat.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Multipliqueu -4 per 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Multipliqueu -12 per -1140.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

Sumeu 9 i 13680.

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 13689.

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

Multipliqueu 2 per 3.

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

Ara resoleu l'equació n=\frac{-3±117}{6} quan ± és més. Sumeu -3 i 117.

$$n=\frac{114}{6}$$

Dividiu 114 per 6.

$$n=19$$

Ara resoleu l'equació n=\frac{-3±117}{6} quan ± és menys. Resteu 117 de -3.

$$n=-\frac{120}{6}$$

Dividiu -120 per 6.

$$n=-20$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$n=19 n=-20$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Resteu 1 als dos costats de l'equació.

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

En restar 1 a si mateix s'obté 0.

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

Resteu 1 de 1141.

$$3n^{2}+3n=1140$$

Dividiu els dos costats per 3.

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

En dividir per 3 es desfà la multiplicació per 3.

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

Dividiu 3 per 3.

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

Dividiu 1140 per 3.

$$n^{2}+n=380$$

Dividiu 1, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir \frac{1}{2}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre \frac{1}{2} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Per elevar \frac{1}{2} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

Sumeu 380 i \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

Factor n^{2}+n+\frac{1}{4}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

Simplifiqueu.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

Resteu \frac{1}{2} als dos costats de l'equació.

$$n=19 n=-20$$