Resol 3(-16k/4k^2+1)^2=32/4k^2+1

$$3 ( \frac { - 16 k } { 4 k ^ { 2 } + 1 } ) ^ { 2 } = \frac { 32 } { 4 k ^ { 2 } + 1 }$$

Resoleu k

$$k=\frac{\sqrt{5}}{10}\approx 0,223606798$$

$$k=-\frac{\sqrt{5}}{10}\approx -0,223606798$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Multipliqueu els dos costats de l'equació per 4k^{2}+1.

$$3\times \left(\frac{-16k}{4k^{2}+1}\right)^{2}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

Per elevar \frac{-16k}{4k^{2}+1} a una potència, eleveu el numerador i el denominador a la potència en qüestió i dividiu-los.

$$3\times \frac{\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

Expresseu 3\times \frac{\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}} com a fracció senzilla.

$$\frac{3\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

Expresseu \frac{3\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right) com a fracció senzilla.

$$\frac{3\left(-16k\right)^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

Expandiu \left(-16k\right)^{2}.

$$\frac{3\left(-16\right)^{2}k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

Calculeu -16 elevat a 2 per obtenir 256.

$$\frac{3\times 256k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

Multipliqueu 3 per 256 per obtenir 768.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(4k^{2}+1\right)^{2}.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16\left(k^{2}\right)^{2}+8k^{2}+1}=32$$

Per elevar una potència a una altra potència, multipliqueu-ne els exponents. Multipliqueu 2 i 2 per obtenir 4.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16k^{4}+8k^{2}+1}=32$$

Resteu 32 en tots dos costats.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16k^{4}+8k^{2}+1}-32=0$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 768k^{2} per 4k^{2}+1.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{16k^{4}+8k^{2}+1}-32=0$$

Aïlleu la 16k^{4}+8k^{2}+1.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}-32=0$$

Per afegir o restar les expressions, amplieu-les perquè els denominadors coincideixin. Multipliqueu 32 per \frac{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}-\frac{32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

Com que \frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}} i \frac{32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}} tenen el mateix denominador, resteu-los mitjançant la subtracció dels seus numeradors.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}-32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

Feu les multiplicacions a 3072k^{4}+768k^{2}-32\left(4k^{2}+1\right)^{2}.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}-512k^{4}-256k^{2}-32}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

Combineu els termes similars de 3072k^{4}+768k^{2}-512k^{4}-256k^{2}-32.

$$\frac{2560k^{4}+512k^{2}-32}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

Multipliqueu els dos costats de l'equació per \left(4k^{2}+1\right)^{2}.

$$2560k^{4}+512k^{2}-32=0$$

Substitueix t per k^{2}.

$$2560t^{2}+512t-32=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu 2560 per a, 512 per b i -32 per c a la fórmula quadràtica.

$$t=\frac{-512±\sqrt{512^{2}-4\times 2560\left(-32\right)}}{2\times 2560}$$

Feu els càlculs.

$$t=\frac{-512±768}{5120}$$

Resoleu l'equació t=\frac{-512±768}{5120} considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$t=\frac{1}{20} t=-\frac{1}{4}$$

Com que k=t^{2}, les solucions s'obtenen mitjançant l'avaluació de k=±\sqrt{t} per a t positiu.

$$k=\frac{\sqrt{5}}{10} k=-\frac{\sqrt{5}}{10}$$