Resol 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

Resoleu x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=12$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 3x^{2}+ax+bx-60. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és negatiu, el número negatiu té un valor més absolut que el positiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -180 de producte.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

La solució és la parella que atorga -31 de suma.

$$a=-36 b=5$$

Reescriviu 3x^{2}-31x-60 com a \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

3x al primer grup i 5 al segon grup.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Simplifiqueu el terme comú x-12 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu x-12=0 i 3x+5=0.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 3 per a, -31 per b i -60 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Eleveu -31 al quadrat.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Multipliqueu -4 per 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Multipliqueu -12 per -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Sumeu 961 i 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 1681.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

El contrari de -31 és 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

Multipliqueu 2 per 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{31±41}{6} quan ± és més. Sumeu 31 i 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

Dividiu 72 per 6.

$$x=12$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{31±41}{6} quan ± és menys. Resteu 41 de 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Redueix la fracció \frac{-10}{6} al màxim extraient i anul·lant 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Sumeu 60 als dos costats de l'equació.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

En restar -60 a si mateix s'obté 0.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

Resteu -60 de 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

Dividiu els dos costats per 3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

En dividir per 3 es desfà la multiplicació per 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

Dividiu 60 per 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

Dividiu -\frac{31}{3}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{31}{6}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{31}{6} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{31}{6} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Sumeu 20 i \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Factor x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Simplifiqueu.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Sumeu \frac{31}{6} als dos costats de l'equació.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$