Resol 3x^2+5x=138

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

Resoleu x

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7,666666667$$

$$x=6$$

Passos amb factorització per agrupació

Resteu 138 en tots dos costats.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 3x^{2}+ax+bx-138. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és positiu, el número positiu té més valor absolut que el negatiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -414 de producte.

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

La solució és la parella que atorga 5 de suma.

$$a=-18 b=23$$

Reescriviu 3x^{2}+5x-138 com a \left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

3x al primer grup i 23 al segon grup.

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

Simplifiqueu el terme comú x-6 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu x-6=0 i 3x+23=0.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$3x^{2}+5x=138$$

Resteu 138 als dos costats de l'equació.

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

En restar 138 a si mateix s'obté 0.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 3 per a, 5 per b i -138 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Eleveu 5 al quadrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Multipliqueu -4 per 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Multipliqueu -12 per -138.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

Sumeu 25 i 1656.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 1681.

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

Multipliqueu 2 per 3.

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-5±41}{6} quan ± és més. Sumeu -5 i 41.

$$x=\frac{36}{6}$$

Dividiu 36 per 6.

$$x=6$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-5±41}{6} quan ± és menys. Resteu 41 de -5.

$$x=-\frac{46}{6}$$

Redueix la fracció \frac{-46}{6} al màxim extraient i anul·lant 2.

$$x=-\frac{23}{3}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=138$$

Dividiu els dos costats per 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

En dividir per 3 es desfà la multiplicació per 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

Dividiu 138 per 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

Dividiu \frac{5}{3}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir \frac{5}{6}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre \frac{5}{6} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Per elevar \frac{5}{6} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

Sumeu 46 i \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

Factor x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Simplifiqueu.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

Resteu \frac{5}{6} als dos costats de l'equació.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$