Resol 24x^2+10x-1=0

$$24 x ^ { 2 } + 10 x - 1 = 0$$

Resoleu x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{1}{12}\approx 0,083333333$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 24x^{2}+ax+bx-1. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=10 ab=24\left(-1\right)=-24$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és positiu, el número positiu té més valor absolut que el negatiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -24 de producte.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

La solució és la parella que atorga 10 de suma.

$$a=-2 b=12$$

Reescriviu 24x^{2}+10x-1 com a \left(24x^{2}-2x\right)+\left(12x-1\right).

$$\left(24x^{2}-2x\right)+\left(12x-1\right)$$

Simplifiqueu 2x a 24x^{2}-2x.

$$2x\left(12x-1\right)+12x-1$$

Simplifiqueu el terme comú 12x-1 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(12x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu 12x-1=0 i 2x+1=0.

$$x=\frac{1}{12} x=-\frac{1}{2}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$24x^{2}+10x-1=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 24 per a, 10 per b i -1 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 24\left(-1\right)}}{2\times 24}$$

Eleveu 10 al quadrat.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 24\left(-1\right)}}{2\times 24}$$

Multipliqueu -4 per 24.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-96\left(-1\right)}}{2\times 24}$$

Multipliqueu -96 per -1.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 24}$$

Sumeu 100 i 96.

$$x=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 196.

$$x=\frac{-10±14}{2\times 24}$$

Multipliqueu 2 per 24.

$$x=\frac{-10±14}{48}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-10±14}{48} quan ± és més. Sumeu -10 i 14.

$$x=\frac{4}{48}$$

Redueix la fracció \frac{4}{48} al màxim extraient i anul·lant 4.

$$x=\frac{1}{12}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-10±14}{48} quan ± és menys. Resteu 14 de -10.

$$x=-\frac{24}{48}$$

Redueix la fracció \frac{-24}{48} al màxim extraient i anul·lant 24.

$$x=-\frac{1}{2}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=\frac{1}{12} x=-\frac{1}{2}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}+10x-1=0$$

Sumeu 1 als dos costats de l'equació.

$$24x^{2}+10x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

En restar -1 a si mateix s'obté 0.

$$24x^{2}+10x=-\left(-1\right)$$

Resteu -1 de 0.

$$24x^{2}+10x=1$$

Dividiu els dos costats per 24.

$$\frac{24x^{2}+10x}{24}=\frac{1}{24}$$

En dividir per 24 es desfà la multiplicació per 24.

$$x^{2}+\frac{10}{24}x=\frac{1}{24}$$

Redueix la fracció \frac{10}{24} al màxim extraient i anul·lant 2.

$$x^{2}+\frac{5}{12}x=\frac{1}{24}$$

Dividiu \frac{5}{12}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir \frac{5}{24}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre \frac{5}{24} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}+\frac{5}{12}x+\left(\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{1}{24}+\left(\frac{5}{24}\right)^{2}$$

Per elevar \frac{5}{24} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}+\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{1}{24}+\frac{25}{576}$$

Sumeu \frac{1}{24} i \frac{25}{576} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}+\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{49}{576}$$

Factor x^{2}+\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

Simplifiqueu.

$$x+\frac{5}{24}=\frac{7}{24} x+\frac{5}{24}=-\frac{7}{24}$$

Resteu \frac{5}{24} als dos costats de l'equació.

$$x=\frac{1}{12} x=-\frac{1}{2}$$