Resol 24x^2-13x-7=0

$$24 { x }^{ 2 } -13x-7=0$$

Resoleu x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=\frac{7}{8}=0,875$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 24x^{2}+ax+bx-7. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-13 ab=24\left(-7\right)=-168$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és negatiu, el número negatiu té un valor més absolut que el positiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -168 de producte.

$$1,-168 2,-84 3,-56 4,-42 6,-28 7,-24 8,-21 12,-14$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$1-168=-167 2-84=-82 3-56=-53 4-42=-38 6-28=-22 7-24=-17 8-21=-13 12-14=-2$$

La solució és la parella que atorga -13 de suma.

$$a=-21 b=8$$

Reescriviu 24x^{2}-13x-7 com a \left(24x^{2}-21x\right)+\left(8x-7\right).

$$\left(24x^{2}-21x\right)+\left(8x-7\right)$$

Simplifiqueu 3x a 24x^{2}-21x.

$$3x\left(8x-7\right)+8x-7$$

Simplifiqueu el terme comú 8x-7 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(8x-7\right)\left(3x+1\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu 8x-7=0 i 3x+1=0.

$$x=\frac{7}{8} x=-\frac{1}{3}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$24x^{2}-13x-7=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 24 per a, -13 per b i -7 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 24\left(-7\right)}}{2\times 24}$$

Eleveu -13 al quadrat.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 24\left(-7\right)}}{2\times 24}$$

Multipliqueu -4 per 24.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-96\left(-7\right)}}{2\times 24}$$

Multipliqueu -96 per -7.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+672}}{2\times 24}$$

Sumeu 169 i 672.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{841}}{2\times 24}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 841.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±29}{2\times 24}$$

El contrari de -13 és 13.

$$x=\frac{13±29}{2\times 24}$$

Multipliqueu 2 per 24.

$$x=\frac{13±29}{48}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{13±29}{48} quan ± és més. Sumeu 13 i 29.

$$x=\frac{42}{48}$$

Redueix la fracció \frac{42}{48} al màxim extraient i anul·lant 6.

$$x=\frac{7}{8}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{13±29}{48} quan ± és menys. Resteu 29 de 13.

$$x=-\frac{16}{48}$$

Redueix la fracció \frac{-16}{48} al màxim extraient i anul·lant 16.

$$x=-\frac{1}{3}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=\frac{7}{8} x=-\frac{1}{3}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-13x-7=0$$

Sumeu 7 als dos costats de l'equació.

$$24x^{2}-13x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

En restar -7 a si mateix s'obté 0.

$$24x^{2}-13x=-\left(-7\right)$$

Resteu -7 de 0.

$$24x^{2}-13x=7$$

Dividiu els dos costats per 24.

$$\frac{24x^{2}-13x}{24}=\frac{7}{24}$$

En dividir per 24 es desfà la multiplicació per 24.

$$x^{2}-\frac{13}{24}x=\frac{7}{24}$$

Dividiu -\frac{13}{24}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{13}{48}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{13}{48} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}-\frac{13}{24}x+\left(-\frac{13}{48}\right)^{2}=\frac{7}{24}+\left(-\frac{13}{48}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{13}{48} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}-\frac{13}{24}x+\frac{169}{2304}=\frac{7}{24}+\frac{169}{2304}$$

Sumeu \frac{7}{24} i \frac{169}{2304} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}-\frac{13}{24}x+\frac{169}{2304}=\frac{841}{2304}$$

Factor x^{2}-\frac{13}{24}x+\frac{169}{2304}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{48}\right)^{2}=\frac{841}{2304}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{2304}}$$

Simplifiqueu.

$$x-\frac{13}{48}=\frac{29}{48} x-\frac{13}{48}=-\frac{29}{48}$$

Sumeu \frac{13}{48} als dos costats de l'equació.

$$x=\frac{7}{8} x=-\frac{1}{3}$$