Resol 20x^2-11x-3=0

$$20 x ^ { 2 } - 11 x - 3 = 0$$

Resoleu x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 20x^{2}+ax+bx-3. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-11 ab=20\left(-3\right)=-60$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és negatiu, el número negatiu té un valor més absolut que el positiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -60 de producte.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

La solució és la parella que atorga -11 de suma.

$$a=-15 b=4$$

Reescriviu 20x^{2}-11x-3 com a \left(20x^{2}-15x\right)+\left(4x-3\right).

$$\left(20x^{2}-15x\right)+\left(4x-3\right)$$

Simplifiqueu 5x a 20x^{2}-15x.

$$5x\left(4x-3\right)+4x-3$$

Simplifiqueu el terme comú 4x-3 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(4x-3\right)\left(5x+1\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu 4x-3=0 i 5x+1=0.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$20x^{2}-11x-3=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 20 per a, -11 per b i -3 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 20\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

Eleveu -11 al quadrat.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 20\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

Multipliqueu -4 per 20.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-80\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

Multipliqueu -80 per -3.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2\times 20}$$

Sumeu 121 i 240.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2\times 20}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 361.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±19}{2\times 20}$$

El contrari de -11 és 11.

$$x=\frac{11±19}{2\times 20}$$

Multipliqueu 2 per 20.

$$x=\frac{11±19}{40}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{11±19}{40} quan ± és més. Sumeu 11 i 19.

$$x=\frac{30}{40}$$

Redueix la fracció \frac{30}{40} al màxim extraient i anul·lant 10.

$$x=\frac{3}{4}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{11±19}{40} quan ± és menys. Resteu 19 de 11.

$$x=-\frac{8}{40}$$

Redueix la fracció \frac{-8}{40} al màxim extraient i anul·lant 8.

$$x=-\frac{1}{5}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-11x-3=0$$

Sumeu 3 als dos costats de l'equació.

$$20x^{2}-11x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

En restar -3 a si mateix s'obté 0.

$$20x^{2}-11x=-\left(-3\right)$$

Resteu -3 de 0.

$$20x^{2}-11x=3$$

Dividiu els dos costats per 20.

$$\frac{20x^{2}-11x}{20}=\frac{3}{20}$$

En dividir per 20 es desfà la multiplicació per 20.

$$x^{2}-\frac{11}{20}x=\frac{3}{20}$$

Dividiu -\frac{11}{20}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{11}{40}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{11}{40} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}-\frac{11}{20}x+\left(-\frac{11}{40}\right)^{2}=\frac{3}{20}+\left(-\frac{11}{40}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{11}{40} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}-\frac{11}{20}x+\frac{121}{1600}=\frac{3}{20}+\frac{121}{1600}$$

Sumeu \frac{3}{20} i \frac{121}{1600} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}-\frac{11}{20}x+\frac{121}{1600}=\frac{361}{1600}$$

Factor x^{2}-\frac{11}{20}x+\frac{121}{1600}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{40}\right)^{2}=\frac{361}{1600}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{1600}}$$

Simplifiqueu.

$$x-\frac{11}{40}=\frac{19}{40} x-\frac{11}{40}=-\frac{19}{40}$$

Sumeu \frac{11}{40} als dos costats de l'equació.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{5}$$