Resol 250p+3b=358;b=2p-20

$$250 p + 3 b = 358 ; b = 2 p - 20$$

Resoleu p, b

$$p = \frac{209}{128} = 1\frac{81}{128} = 1,6328125$$

$$b = -\frac{1071}{64} = -16\frac{47}{64} = -16,734375$$

Passos per utilitzar la substitució

Fixeu-vos en la segona equació. Resteu 2p en tots dos costats.

$$b-2p=-20$$

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$250p+3b=358,-2p+b=-20$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor p mitjançant l'aïllament del valor p al costat esquerre del signe igual.

$$250p+3b=358$$

Resteu 3b als dos costats de l'equació.

$$250p=-3b+358$$

Dividiu els dos costats per 250.

$$p=\frac{1}{250}\left(-3b+358\right)$$

Multipliqueu \frac{1}{250} per -3b+358.

$$p=-\frac{3}{250}b+\frac{179}{125}$$

Substituïu -\frac{3b}{250}+\frac{179}{125} per p a l'altra equació, -2p+b=-20.

$$-2\left(-\frac{3}{250}b+\frac{179}{125}\right)+b=-20$$

Multipliqueu -2 per -\frac{3b}{250}+\frac{179}{125}.

$$\frac{3}{125}b-\frac{358}{125}+b=-20$$

Sumeu \frac{3b}{125} i b.

$$\frac{128}{125}b-\frac{358}{125}=-20$$

Sumeu \frac{358}{125} als dos costats de l'equació.

$$\frac{128}{125}b=-\frac{2142}{125}$$

Dividiu els dos costats de l'equació per \frac{128}{125}, que és el mateix que multiplicar els dos costats pel recíproc de la fracció.

$$b=-\frac{1071}{64}$$

Substituïu -\frac{1071}{64} per b a p=-\frac{3}{250}b+\frac{179}{125}. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular p directament.

$$p=-\frac{3}{250}\left(-\frac{1071}{64}\right)+\frac{179}{125}$$

Per multiplicar -\frac{3}{250} per -\frac{1071}{64}, multipliqueu el numerador pel numerador i el denominador pel denominador. A continuació, reduïu la fracció als termes més baixos sempre que sigui possible.

$$p=\frac{3213}{16000}+\frac{179}{125}$$

Sumeu \frac{179}{125} i \frac{3213}{16000} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$p=\frac{209}{128}$$

El sistema ja funciona correctament.

$$p=\frac{209}{128},b=-\frac{1071}{64}$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Fixeu-vos en la segona equació. Resteu 2p en tots dos costats.

$$b-2p=-20$$

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$250p+3b=358,-2p+b=-20$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}250&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}358\\-20\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}250&3\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}250&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}250&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}358\\-20\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}250&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}358\\-20\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}250&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}358\\-20\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{250-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{250-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{250-3\left(-2\right)}&\frac{250}{250-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}358\\-20\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{256}&-\frac{3}{256}\\\frac{1}{128}&\frac{125}{128}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}358\\-20\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{256}\times 358-\frac{3}{256}\left(-20\right)\\\frac{1}{128}\times 358+\frac{125}{128}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{209}{128}\\-\frac{1071}{64}\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu p i b.

$$p=\frac{209}{128},b=-\frac{1071}{64}$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Fixeu-vos en la segona equació. Resteu 2p en tots dos costats.

$$b-2p=-20$$

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$250p+3b=358,-2p+b=-20$$

Per igualar 250p i -2p, multipliqueu tots els termes de cada costat de la primera equació per -2 i tots els termes de cada costat de la segona per 250.

$$-2\times 250p-2\times 3b=-2\times 358,250\left(-2\right)p+250b=250\left(-20\right)$$

Simplifiqueu.

$$-500p-6b=-716,-500p+250b=-5000$$

Resteu -500p+250b=-5000 de -500p-6b=-716 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$-500p+500p-6b-250b=-716+5000$$

Sumeu -500p i 500p. Els termes -500p i 500p s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$-6b-250b=-716+5000$$

Sumeu -6b i -250b.

$$-256b=-716+5000$$

Sumeu -716 i 5000.

$$-256b=4284$$

Dividiu els dos costats per -256.

$$b=-\frac{1071}{64}$$

Substituïu -\frac{1071}{64} per b a -2p+b=-20. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular p directament.

$$-2p-\frac{1071}{64}=-20$$

Sumeu \frac{1071}{64} als dos costats de l'equació.

$$-2p=-\frac{209}{64}$$

Dividiu els dos costats per -2.

$$p=\frac{209}{128}$$

El sistema ja funciona correctament.

$$p=\frac{209}{128},b=-\frac{1071}{64}$$