Resol 2z^2-5z=12

$$2 z ^ { 2 } - 5 z = 12$$

Resoleu z

$$z = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$z=4$$

Passos amb factorització per agrupació

Resteu 12 en tots dos costats.

$$2z^{2}-5z-12=0$$

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 2z^{2}+az+bz-12. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-5 ab=2\left(-12\right)=-24$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és negatiu, el número negatiu té un valor més absolut que el positiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -24 de producte.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

La solució és la parella que atorga -5 de suma.

$$a=-8 b=3$$

Reescriviu 2z^{2}-5z-12 com a \left(2z^{2}-8z\right)+\left(3z-12\right).

$$\left(2z^{2}-8z\right)+\left(3z-12\right)$$

2z al primer grup i 3 al segon grup.

$$2z\left(z-4\right)+3\left(z-4\right)$$

Simplifiqueu el terme comú z-4 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(z-4\right)\left(2z+3\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu z-4=0 i 2z+3=0.

$$z=4 z=-\frac{3}{2}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$2z^{2}-5z=12$$

Resteu 12 als dos costats de l'equació.

$$2z^{2}-5z-12=12-12$$

En restar 12 a si mateix s'obté 0.

$$2z^{2}-5z-12=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 2 per a, -5 per b i -12 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Eleveu -5 al quadrat.

$$z=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Multipliqueu -4 per 2.

$$z=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Multipliqueu -8 per -12.

$$z=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2\times 2}$$

Sumeu 25 i 96.

$$z=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 121.

$$z=\frac{-\left(-5\right)±11}{2\times 2}$$

El contrari de -5 és 5.

$$z=\frac{5±11}{2\times 2}$$

Multipliqueu 2 per 2.

$$z=\frac{5±11}{4}$$

Ara resoleu l'equació z=\frac{5±11}{4} quan ± és més. Sumeu 5 i 11.

$$z=\frac{16}{4}$$

Dividiu 16 per 4.

$$z=4$$

Ara resoleu l'equació z=\frac{5±11}{4} quan ± és menys. Resteu 11 de 5.

$$z=-\frac{6}{4}$$

Redueix la fracció \frac{-6}{4} al màxim extraient i anul·lant 2.

$$z=-\frac{3}{2}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$z=4 z=-\frac{3}{2}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$2z^{2}-5z=12$$

Dividiu els dos costats per 2.

$$\frac{2z^{2}-5z}{2}=\frac{12}{2}$$

En dividir per 2 es desfà la multiplicació per 2.

$$z^{2}-\frac{5}{2}z=\frac{12}{2}$$

Dividiu 12 per 2.

$$z^{2}-\frac{5}{2}z=6$$

Dividiu -\frac{5}{2}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{5}{4}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{5}{4} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$z^{2}-\frac{5}{2}z+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=6+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{5}{4} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$z^{2}-\frac{5}{2}z+\frac{25}{16}=6+\frac{25}{16}$$

Sumeu 6 i \frac{25}{16}.

$$z^{2}-\frac{5}{2}z+\frac{25}{16}=\frac{121}{16}$$

Factor z^{2}-\frac{5}{2}z+\frac{25}{16}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(z-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Simplifiqueu.

$$z-\frac{5}{4}=\frac{11}{4} z-\frac{5}{4}=-\frac{11}{4}$$

Sumeu \frac{5}{4} als dos costats de l'equació.

$$z=4 z=-\frac{3}{2}$$