Resol 2x-3y+10=0quadtext{KaHa}5x-y+4=0

$$2 x - 3 y + 10 = 0 \quad \text { KaHa } 5 x - y + 4 = 0$$

Resoleu x, y

$$x=-\frac{2}{13}\approx -0,153846154$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3,230769231$$

Passos per utilitzar la substitució

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor x mitjançant l'aïllament del valor x al costat esquerre del signe igual.

$$2x-3y+10=0$$

Resteu 10 als dos costats de l'equació.

$$2x-3y=-10$$

Sumeu 3y als dos costats de l'equació.

$$2x=3y-10$$

Dividiu els dos costats per 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-10\right)$$

Multipliqueu \frac{1}{2} per 3y-10.

$$x=\frac{3}{2}y-5$$

Substituïu \frac{3y}{2}-5 per x a l'altra equació, 5x-y+4=0.

$$5\left(\frac{3}{2}y-5\right)-y+4=0$$

Multipliqueu 5 per \frac{3y}{2}-5.

$$\frac{15}{2}y-25-y+4=0$$

Sumeu \frac{15y}{2} i -y.

$$\frac{13}{2}y-25+4=0$$

Sumeu -25 i 4.

$$\frac{13}{2}y-21=0$$

Sumeu 21 als dos costats de l'equació.

$$\frac{13}{2}y=21$$

Dividiu els dos costats de l'equació per \frac{13}{2}, que és el mateix que multiplicar els dos costats pel recíproc de la fracció.

$$y=\frac{42}{13}$$

Substituïu \frac{42}{13} per y a x=\frac{3}{2}y-5. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{42}{13}-5$$

Per multiplicar \frac{3}{2} per \frac{42}{13}, multipliqueu el numerador pel numerador i el denominador pel denominador. A continuació, reduïu la fracció als termes més baixos sempre que sigui possible.

$$x=\frac{63}{13}-5$$

Sumeu -5 i \frac{63}{13}.

$$x=-\frac{2}{13}$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-10\right)+\frac{3}{13}\left(-4\right)\\-\frac{5}{13}\left(-10\right)+\frac{2}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu x i y.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Per igualar 2x i 5x, multipliqueu tots els termes de cada costat de la primera equació per 5 i tots els termes de cada costat de la segona per 2.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y+5\times 10=0,2\times 5x+2\left(-1\right)y+2\times 4=0$$

Simplifiqueu.

$$10x-15y+50=0,10x-2y+8=0$$

Resteu 10x-2y+8=0 de 10x-15y+50=0 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$10x-10x-15y+2y+50-8=0$$

Sumeu 10x i -10x. Els termes 10x i -10x s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$-15y+2y+50-8=0$$

Sumeu -15y i 2y.

$$-13y+50-8=0$$

Sumeu 50 i -8.

$$-13y+42=0$$

Resteu 42 als dos costats de l'equació.

$$-13y=-42$$

Dividiu els dos costats per -13.

$$y=\frac{42}{13}$$

Substituïu \frac{42}{13} per y a 5x-y+4=0. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$5x-\frac{42}{13}+4=0$$

Sumeu -\frac{42}{13} i 4.

$$5x+\frac{10}{13}=0$$

Resteu \frac{10}{13} als dos costats de l'equació.

$$5x=-\frac{10}{13}$$

Dividiu els dos costats per 5.

$$x=-\frac{2}{13}$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$