Resol 2x(1-x)+1-x<0

$$2 x ( 1 - x ) + 1 - x < 0$$

Resoleu x

$$x\in \left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)\cup \left(1,\infty\right)$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 2x per 1-x.

$$2x-2x^{2}+1-x<0$$

Combineu 2x i -x per obtenir x.

$$x-2x^{2}+1<0$$

Multipliqueu la desigualtat per -1 per fer que el coeficient de la màxima potència a x-2x^{2}+1 sigui positiu. Com que -1 és negatiu, es canvia la direcció de la desigualtat.

$$-x+2x^{2}-1>0$$

Per resoldre la desigualtat, factoritzeu el costat esquerre. El polinomi quadràtic es pot factoritzar amb la transformació ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), on x_{1} i x_{2} són les solucions de l'equació quadràtica ax^{2}+bx+c=0.

$$-x+2x^{2}-1=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu 2 per a, -1 per b i -1 per c a la fórmula quadràtica.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Feu els càlculs.

$$x=\frac{1±3}{4}$$

Resoleu l'equació x=\frac{1±3}{4} considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Reescriviu la desigualtat mitjançant les solucions obtingudes.

$$2\left(x-1\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)>0$$

Perquè el producte sigui positiu, tant x-1 com x+\frac{1}{2} han de ser negatius o positius. Considereu el cas en què x-1 i x+\frac{1}{2} són negatius.

$$x-1<0 x+\frac{1}{2}<0$$

La solució que satisfà les dues desigualtats és x<-\frac{1}{2}.

$$x<-\frac{1}{2}$$

Considereu el cas en què x-1 i x+\frac{1}{2} són positius.

$$x+\frac{1}{2}>0 x-1>0$$

La solució que satisfà les dues desigualtats és x>1.

$$x>1$$

La solució final és la unió de les solucions obtingudes.

$$x<-\frac{1}{2}\text{; }x>1$$