Resol 2x^2-x-1<0

$$2 x ^ { 2 } - x - 1 < 0$$

Resoleu x

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Per resoldre la desigualtat, factoritzeu el costat esquerre. El polinomi quadràtic es pot factoritzar amb la transformació ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), on x_{1} i x_{2} són les solucions de l'equació quadràtica ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-x-1=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu 2 per a, -1 per b i -1 per c a la fórmula quadràtica.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Feu els càlculs.

$$x=\frac{1±3}{4}$$

Resoleu l'equació x=\frac{1±3}{4} considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Reescriviu la desigualtat mitjançant les solucions obtingudes.

$$2\left(x-1\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)<0$$

Perquè el producte sigui negatiu, x-1 i x+\frac{1}{2} han de ser de signe oposat. Considereu el cas en què x-1 és positiu i x+\frac{1}{2} és negatiu.

$$x-1>0 x+\frac{1}{2}<0$$

Això és fals per a qualsevol x.

$$x\in \emptyset$$

Considereu el cas en què x+\frac{1}{2} és positiu i x-1 és negatiu.

$$x+\frac{1}{2}>0 x-1<0$$

La solució que satisfà les dues desigualtats és x\in \left(-\frac{1}{2},1\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$

La solució final és la unió de les solucions obtingudes.

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$