Resol 2x^2-2x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Resoleu x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 2 per a, -2 per b i -1 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Eleveu -2 al quadrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multipliqueu -4 per 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multipliqueu -8 per -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Sumeu 4 i 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

El contrari de -2 és 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Multipliqueu 2 per 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} quan ± és més. Sumeu 2 i 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

Dividiu 2+2\sqrt{3} per 4.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} quan ± és menys. Resteu 2\sqrt{3} de 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

Dividiu 2-2\sqrt{3} per 4.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Sumeu 1 als dos costats de l'equació.

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

En restar -1 a si mateix s'obté 0.

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Resteu -1 de 0.

$$2x^{2}-2x=1$$

Dividiu els dos costats per 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

En dividir per 2 es desfà la multiplicació per 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

Dividiu -2 per 2.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Dividiu -1, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{1}{2}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{1}{2} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{1}{2} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Sumeu \frac{1}{2} i \frac{1}{4} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Simplifiqueu.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Sumeu \frac{1}{2} als dos costats de l'equació.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$