Resol 2x^2+x-1<0

$$2 x ^ { 2 } + x - 1 < 0$$

Resoleu x

$$x\in \left(-1,\frac{1}{2}\right)$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Per resoldre la desigualtat, factoritzeu el costat esquerre. El polinomi quadràtic es pot factoritzar amb la transformació ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), on x_{1} i x_{2} són les solucions de l'equació quadràtica ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+x-1=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu 2 per a, 1 per b i -1 per c a la fórmula quadràtica.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Feu els càlculs.

$$x=\frac{-1±3}{4}$$

Resoleu l'equació x=\frac{-1±3}{4} considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$

Reescriviu la desigualtat mitjançant les solucions obtingudes.

$$2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+1\right)<0$$

Perquè el producte sigui negatiu, x-\frac{1}{2} i x+1 han de ser de signe oposat. Considereu el cas en què x-\frac{1}{2} és positiu i x+1 és negatiu.

$$x-\frac{1}{2}>0 x+1<0$$

Això és fals per a qualsevol x.

$$x\in \emptyset$$

Considereu el cas en què x+1 és positiu i x-\frac{1}{2} és negatiu.

$$x+1>0 x-\frac{1}{2}<0$$

La solució que satisfà les dues desigualtats és x\in \left(-1,\frac{1}{2}\right).

$$x\in \left(-1,\frac{1}{2}\right)$$

La solució final és la unió de les solucions obtingudes.

$$x\in \left(-1,\frac{1}{2}\right)$$