Resol 2x^2+85x-225=0

$$2 x ^ { 2 } + 85 x - 225 = 0$$

Resoleu x

$$x=-45$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 2x^{2}+ax+bx-225. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=85 ab=2\left(-225\right)=-450$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és positiu, el número positiu té més valor absolut que el negatiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -450 de producte.

$$-1,450 -2,225 -3,150 -5,90 -6,75 -9,50 -10,45 -15,30 -18,25$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1+450=449 -2+225=223 -3+150=147 -5+90=85 -6+75=69 -9+50=41 -10+45=35 -15+30=15 -18+25=7$$

La solució és la parella que atorga 85 de suma.

$$a=-5 b=90$$

Reescriviu 2x^{2}+85x-225 com a \left(2x^{2}-5x\right)+\left(90x-225\right).

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(90x-225\right)$$

x al primer grup i 45 al segon grup.

$$x\left(2x-5\right)+45\left(2x-5\right)$$

Simplifiqueu el terme comú 2x-5 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(2x-5\right)\left(x+45\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu 2x-5=0 i x+45=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-45$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$2x^{2}+85x-225=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 2 per a, 85 per b i -225 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-85±\sqrt{85^{2}-4\times 2\left(-225\right)}}{2\times 2}$$

Eleveu 85 al quadrat.

$$x=\frac{-85±\sqrt{7225-4\times 2\left(-225\right)}}{2\times 2}$$

Multipliqueu -4 per 2.

$$x=\frac{-85±\sqrt{7225-8\left(-225\right)}}{2\times 2}$$

Multipliqueu -8 per -225.

$$x=\frac{-85±\sqrt{7225+1800}}{2\times 2}$$

Sumeu 7225 i 1800.

$$x=\frac{-85±\sqrt{9025}}{2\times 2}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 9025.

$$x=\frac{-85±95}{2\times 2}$$

Multipliqueu 2 per 2.

$$x=\frac{-85±95}{4}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-85±95}{4} quan ± és més. Sumeu -85 i 95.

$$x=\frac{10}{4}$$

Redueix la fracció \frac{10}{4} al màxim extraient i anul·lant 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-85±95}{4} quan ± és menys. Resteu 95 de -85.

$$x=-\frac{180}{4}$$

Dividiu -180 per 4.

$$x=-45$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=\frac{5}{2} x=-45$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+85x-225=0$$

Sumeu 225 als dos costats de l'equació.

$$2x^{2}+85x-225-\left(-225\right)=-\left(-225\right)$$

En restar -225 a si mateix s'obté 0.

$$2x^{2}+85x=-\left(-225\right)$$

Resteu -225 de 0.

$$2x^{2}+85x=225$$

Dividiu els dos costats per 2.

$$\frac{2x^{2}+85x}{2}=\frac{225}{2}$$

En dividir per 2 es desfà la multiplicació per 2.

$$x^{2}+\frac{85}{2}x=\frac{225}{2}$$

Dividiu \frac{85}{2}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir \frac{85}{4}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre \frac{85}{4} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}+\frac{85}{2}x+\left(\frac{85}{4}\right)^{2}=\frac{225}{2}+\left(\frac{85}{4}\right)^{2}$$

Per elevar \frac{85}{4} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}+\frac{85}{2}x+\frac{7225}{16}=\frac{225}{2}+\frac{7225}{16}$$

Sumeu \frac{225}{2} i \frac{7225}{16} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}+\frac{85}{2}x+\frac{7225}{16}=\frac{9025}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{85}{2}x+\frac{7225}{16}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{85}{4}\right)^{2}=\frac{9025}{16}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x+\frac{85}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9025}{16}}$$

Simplifiqueu.

$$x+\frac{85}{4}=\frac{95}{4} x+\frac{85}{4}=-\frac{95}{4}$$

Resteu \frac{85}{4} als dos costats de l'equació.

$$x=\frac{5}{2} x=-45$$