Resol 2x+y=1text{and}x-y=-4

$$2 x + y = 1 \text { and } x - y = - 4$$

Resoleu x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Passos per utilitzar la substitució

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor x mitjançant l'aïllament del valor x al costat esquerre del signe igual.

$$2x+y=1$$

Resteu y als dos costats de l'equació.

$$2x=-y+1$$

Dividiu els dos costats per 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+1\right)$$

Multipliqueu \frac{1}{2} per -y+1.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Substituïu \frac{-y+1}{2} per x a l'altra equació, x-y=-4.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-y=-4$$

Sumeu -\frac{y}{2} i -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=-4$$

Resteu \frac{1}{2} als dos costats de l'equació.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{9}{2}$$

Dividiu els dos costats de l'equació per -\frac{3}{2}, que és el mateix que multiplicar els dos costats pel recíproc de la fracció.

$$y=3$$

Substituïu 3 per y a x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}$$

Multipliqueu -\frac{1}{2} per 3.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Sumeu \frac{1}{2} i -\frac{3}{2} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x=-1$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=-1,y=3$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(-4\right)\\\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu x i y.

$$x=-1,y=3$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Per igualar 2x i x, multipliqueu tots els termes de cada costat de la primera equació per 1 i tots els termes de cada costat de la segona per 2.

$$2x+y=1,2x+2\left(-1\right)y=2\left(-4\right)$$

Simplifiqueu.

$$2x+y=1,2x-2y=-8$$

Resteu 2x-2y=-8 de 2x+y=1 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$2x-2x+y+2y=1+8$$

Sumeu 2x i -2x. Els termes 2x i -2x s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$y+2y=1+8$$

Sumeu y i 2y.

$$3y=1+8$$

Sumeu 1 i 8.

$$3y=9$$

Dividiu els dos costats per 3.

$$y=3$$

Substituïu 3 per y a x-y=-4. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x-3=-4$$

Sumeu 3 als dos costats de l'equació.

$$x=-1$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=-1,y=3$$