Resol 2x+3y=6quadtext{and}quad6x-5y=4

$$2 x + 3 y = 6 \quad \text { and } \quad 6 x - 5 y = 4$$

Resoleu x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$y=1$$

Passos per utilitzar la substitució

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor x mitjançant l'aïllament del valor x al costat esquerre del signe igual.

$$2x+3y=6$$

Resteu 3y als dos costats de l'equació.

$$2x=-3y+6$$

Dividiu els dos costats per 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

Multipliqueu \frac{1}{2} per -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Substituïu -\frac{3y}{2}+3 per x a l'altra equació, 6x-5y=4.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+3\right)-5y=4$$

Multipliqueu 6 per -\frac{3y}{2}+3.

$$-9y+18-5y=4$$

Sumeu -9y i -5y.

$$-14y+18=4$$

Resteu 18 als dos costats de l'equació.

$$-14y=-14$$

Dividiu els dos costats per -14.

$$y=1$$

Substituïu 1 per y a x=-\frac{3}{2}y+3. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x=-\frac{3}{2}+3$$

Sumeu 3 i -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-5\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}&\frac{3}{28}\\\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}\times 6+\frac{3}{28}\times 4\\\frac{3}{14}\times 6-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu x i y.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Per igualar 2x i 6x, multipliqueu tots els termes de cada costat de la primera equació per 6 i tots els termes de cada costat de la segona per 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 6,2\times 6x+2\left(-5\right)y=2\times 4$$

Simplifiqueu.

$$12x+18y=36,12x-10y=8$$

Resteu 12x-10y=8 de 12x+18y=36 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$12x-12x+18y+10y=36-8$$

Sumeu 12x i -12x. Els termes 12x i -12x s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$18y+10y=36-8$$

Sumeu 18y i 10y.

$$28y=36-8$$

Sumeu 36 i -8.

$$28y=28$$

Dividiu els dos costats per 28.

$$y=1$$

Substituïu 1 per y a 6x-5y=4. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$6x-5=4$$

Sumeu 5 als dos costats de l'equació.

$$6x=9$$

Dividiu els dos costats per 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$