Resol 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

Resoleu x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=8$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 2x^{2}+ax+bx-40. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és negatiu, el número negatiu té un valor més absolut que el positiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -80 de producte.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

La solució és la parella que atorga -11 de suma.

$$a=-16 b=5$$

Reescriviu 2x^{2}-11x-40 com a \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

2x al primer grup i 5 al segon grup.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

Simplifiqueu el terme comú x-8 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu x-8=0 i 2x+5=0.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 2 per a, -11 per b i -40 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Eleveu -11 al quadrat.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Multipliqueu -4 per 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Multipliqueu -8 per -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

Sumeu 121 i 320.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 441.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

El contrari de -11 és 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

Multipliqueu 2 per 2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{11±21}{4} quan ± és més. Sumeu 11 i 21.

$$x=\frac{32}{4}$$

Dividiu 32 per 4.

$$x=8$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{11±21}{4} quan ± és menys. Resteu 21 de 11.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Redueix la fracció \frac{-10}{4} al màxim extraient i anul·lant 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Sumeu 40 als dos costats de l'equació.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

En restar -40 a si mateix s'obté 0.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

Resteu -40 de 0.

$$2x^{2}-11x=40$$

Dividiu els dos costats per 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

En dividir per 2 es desfà la multiplicació per 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

Dividiu 40 per 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

Dividiu -\frac{11}{2}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{11}{4}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{11}{4} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{11}{4} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

Sumeu 20 i \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Simplifiqueu.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

Sumeu \frac{11}{4} als dos costats de l'equació.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$