Resol 2sqrt{x}+1/x=3

$$2 \sqrt { x } + \frac { 1 } { x } = 3$$

Resoleu x

$$x=1$$

Passos de solució

Resteu \frac{1}{x} als dos costats de l'equació.

$$2\sqrt{x}=3-\frac{1}{x}$$

La variable x no pot ser igual a 0, ja que la divisió per zero no s'ha definit. Multipliqueu els dos costats de l'equació per x.

$$2\sqrt{x}x=x\times 3-1$$

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(2\sqrt{x}x\right)^{2}=\left(x\times 3-1\right)^{2}$$

Expandiu \left(2\sqrt{x}x\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}x^{2}=\left(x\times 3-1\right)^{2}$$

Calculeu 2 elevat a 2 per obtenir 4.

$$4\left(\sqrt{x}\right)^{2}x^{2}=\left(x\times 3-1\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{x} elevat a 2 per obtenir x.

$$4xx^{2}=\left(x\times 3-1\right)^{2}$$

Per multiplicar potències de la mateixa base, afegiu-ne els exponents. Afegiu 1 i 2 per obtenir 3.

$$4x^{3}=\left(x\times 3-1\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(x\times 3-1\right)^{2}.

$$4x^{3}=9x^{2}-6x+1$$

Resteu 9x^{2} en tots dos costats.

$$4x^{3}-9x^{2}=-6x+1$$

Afegiu 6x als dos costats.

$$4x^{3}-9x^{2}+6x=1$$

Resteu 1 en tots dos costats.

$$4x^{3}-9x^{2}+6x-1=0$$

Per teorema de l'arrel racional, totes les arrels racionals d'un polinomi són de la forma \frac{p}{q}, on p divideix el -1 terme constant i q divideix el coeficient principal 4. Llista de tots els candidats \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Per cercar una d'aquestes arrels, proveu tots els valors enters, començant pel més petit, per valor absolut. Si no es troba cap arrel d'enter, proveu les fraccions.

$$x=1$$

Per teorema de factors, x-k és un factor del polinomi per a cada k arrel. Dividiu 4x^{3}-9x^{2}+6x-1 entre x-1 per obtenir 4x^{2}-5x+1. Resoleu l'equació on el resultat és igual a 0.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu 4 per a, -5 per b i 1 per c a la fórmula quadràtica.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\times 1}}{2\times 4}$$

Feu els càlculs.

$$x=\frac{5±3}{8}$$

Resoleu l'equació 4x^{2}-5x+1=0 considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$x=\frac{1}{4} x=1$$

Llista de totes les solucions trobades.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Substituïu 1 per x a l'equació 2\sqrt{x}+\frac{1}{x}=3.

$$2\sqrt{1}+\frac{1}{1}=3$$

Simplifiqueu. El valor x=1 satisfà l'equació.

$$3=3$$

Substituïu \frac{1}{4} per x a l'equació 2\sqrt{x}+\frac{1}{x}=3.

$$2\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{1}{\frac{1}{4}}=3$$

Simplifiqueu. El valor x=\frac{1}{4} no satisfà l'equació.

$$5=3$$

L'equació 2\sqrt{x}x=3x-1 té una única solució.

$$x=1$$