Resol 16x^2+10x-9=0

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

Resoleu x

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1,125$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 16x^{2}+ax+bx-9. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és positiu, el número positiu té més valor absolut que el negatiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -144 de producte.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

La solució és la parella que atorga 10 de suma.

$$a=-8 b=18$$

Reescriviu 16x^{2}+10x-9 com a \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right).

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

8x al primer grup i 9 al segon grup.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

Simplifiqueu el terme comú 2x-1 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu 2x-1=0 i 8x+9=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 16 per a, 10 per b i -9 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Eleveu 10 al quadrat.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Multipliqueu -4 per 16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Multipliqueu -64 per -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

Sumeu 100 i 576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

Multipliqueu 2 per 16.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-10±26}{32} quan ± és més. Sumeu -10 i 26.

$$x=\frac{16}{32}$$

Redueix la fracció \frac{16}{32} al màxim extraient i anul·lant 16.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-10±26}{32} quan ± és menys. Resteu 26 de -10.

$$x=-\frac{36}{32}$$

Redueix la fracció \frac{-36}{32} al màxim extraient i anul·lant 4.

$$x=-\frac{9}{8}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Sumeu 9 als dos costats de l'equació.

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

En restar -9 a si mateix s'obté 0.

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

Resteu -9 de 0.

$$16x^{2}+10x=9$$

Dividiu els dos costats per 16.

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

En dividir per 16 es desfà la multiplicació per 16.

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

Redueix la fracció \frac{10}{16} al màxim extraient i anul·lant 2.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

Dividiu \frac{5}{8}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir \frac{5}{16}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre \frac{5}{16} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

Per elevar \frac{5}{16} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

Sumeu \frac{9}{16} i \frac{25}{256} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

Factor x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

Simplifiqueu.

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

Resteu \frac{5}{16} als dos costats de l'equació.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$