Resol 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

Resoleu x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 15x^{2}+ax+bx+2. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

Com que ab és positiu, a i b tenen el mateix inici de sessió. Atès que a+b és positiu, a i b són positius. Llista de totes les parelles d'enters que donen 30 de producte.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

La solució és la parella que atorga 11 de suma.

$$a=5 b=6$$

Reescriviu 15x^{2}+11x+2 com a \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right).

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

Simplifiqueu 5x al primer grup i 2 al segon grup.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Simplifiqueu el terme comú 3x+1 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu 3x+1=0 i 5x+2=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 15 per a, 11 per b i 2 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Eleveu 11 al quadrat.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Multipliqueu -4 per 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

Multipliqueu -60 per 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

Sumeu 121 i -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

Multipliqueu 2 per 15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-11±1}{30} quan ± és més. Sumeu -11 i 1.

$$x=-\frac{10}{30}$$

Redueix la fracció \frac{-10}{30} al màxim extraient i anul·lant 10.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-11±1}{30} quan ± és menys. Resteu 1 de -11.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Redueix la fracció \frac{-12}{30} al màxim extraient i anul·lant 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Resteu 2 als dos costats de l'equació.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

En restar 2 a si mateix s'obté 0.

$$15x^{2}+11x=-2$$

Dividiu els dos costats per 15.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

En dividir per 15 es desfà la multiplicació per 15.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Dividiu \frac{11}{15}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir \frac{11}{30}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre \frac{11}{30} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

Per elevar \frac{11}{30} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Sumeu -\frac{2}{15} i \frac{121}{900} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

Factoritzeu x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot factoritzar com a \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Simplifiqueu.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

Resteu \frac{11}{30} als dos costats de l'equació.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$