Resol 15x^2+4x-4=0

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

Resoleu x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 15x^{2}+ax+bx-4. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és positiu, el número positiu té més valor absolut que el negatiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -60 de producte.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

La solució és la parella que atorga 4 de suma.

$$a=-6 b=10$$

Reescriviu 15x^{2}+4x-4 com a \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right).

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

3x al primer grup i 2 al segon grup.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Simplifiqueu el terme comú 5x-2 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu 5x-2=0 i 3x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 15 per a, 4 per b i -4 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Eleveu 4 al quadrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Multipliqueu -4 per 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Multipliqueu -60 per -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Sumeu 16 i 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

Multipliqueu 2 per 15.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-4±16}{30} quan ± és més. Sumeu -4 i 16.

$$x=\frac{12}{30}$$

Redueix la fracció \frac{12}{30} al màxim extraient i anul·lant 6.

$$x=\frac{2}{5}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-4±16}{30} quan ± és menys. Resteu 16 de -4.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Redueix la fracció \frac{-20}{30} al màxim extraient i anul·lant 10.

$$x=-\frac{2}{3}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Sumeu 4 als dos costats de l'equació.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

En restar -4 a si mateix s'obté 0.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

Resteu -4 de 0.

$$15x^{2}+4x=4$$

Dividiu els dos costats per 15.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

En dividir per 15 es desfà la multiplicació per 15.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

Dividiu \frac{4}{15}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir \frac{2}{15}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre \frac{2}{15} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Per elevar \frac{2}{15} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Sumeu \frac{4}{15} i \frac{4}{225} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

Factor x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Simplifiqueu.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Resteu \frac{2}{15} als dos costats de l'equació.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$