Resol 120x^2+8000x-92000=0

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

Resoleu x

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76,666666667$$

$$x=10$$

Passos amb factorització per agrupació

Dividiu els dos costats per 40.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 3x^{2}+ax+bx-2300. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és positiu, el número positiu té més valor absolut que el negatiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -6900 de producte.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

La solució és la parella que atorga 200 de suma.

$$a=-30 b=230$$

Reescriviu 3x^{2}+200x-2300 com a \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

3x al primer grup i 230 al segon grup.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

Simplifiqueu el terme comú x-10 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu x-10=0 i 3x+230=0.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 120 per a, 8000 per b i -92000 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Eleveu 8000 al quadrat.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Multipliqueu -4 per 120.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Multipliqueu -480 per -92000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

Sumeu 64000000 i 44160000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 108160000.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

Multipliqueu 2 per 120.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-8000±10400}{240} quan ± és més. Sumeu -8000 i 10400.

$$x=\frac{2400}{240}$$

Dividiu 2400 per 240.

$$x=10$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-8000±10400}{240} quan ± és menys. Resteu 10400 de -8000.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

Redueix la fracció \frac{-18400}{240} al màxim extraient i anul·lant 80.

$$x=-\frac{230}{3}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Sumeu 92000 als dos costats de l'equació.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

En restar -92000 a si mateix s'obté 0.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

Resteu -92000 de 0.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

Dividiu els dos costats per 120.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

En dividir per 120 es desfà la multiplicació per 120.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

Redueix la fracció \frac{8000}{120} al màxim extraient i anul·lant 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

Redueix la fracció \frac{92000}{120} al màxim extraient i anul·lant 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

Dividiu \frac{200}{3}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir \frac{100}{3}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre \frac{100}{3} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Per elevar \frac{100}{3} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

Sumeu \frac{2300}{3} i \frac{10000}{9} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

Simplifiqueu.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

Resteu \frac{100}{3} als dos costats de l'equació.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$