Resol 12r^2-11r-15=0

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

Resoleu r

$$r=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 12r^{2}+ar+br-15. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és negatiu, el número negatiu té un valor més absolut que el positiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -180 de producte.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

La solució és la parella que atorga -11 de suma.

$$a=-20 b=9$$

Reescriviu 12r^{2}-11r-15 com a \left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right).

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

4r al primer grup i 3 al segon grup.

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

Simplifiqueu el terme comú 3r-5 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu 3r-5=0 i 4r+3=0.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 12 per a, -11 per b i -15 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Eleveu -11 al quadrat.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Multipliqueu -4 per 12.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Multipliqueu -48 per -15.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

Sumeu 121 i 720.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 841.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

El contrari de -11 és 11.

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

Multipliqueu 2 per 12.

$$r=\frac{11±29}{24}$$

Ara resoleu l'equació r=\frac{11±29}{24} quan ± és més. Sumeu 11 i 29.

$$r=\frac{40}{24}$$

Redueix la fracció \frac{40}{24} al màxim extraient i anul·lant 8.

$$r=\frac{5}{3}$$

Ara resoleu l'equació r=\frac{11±29}{24} quan ± és menys. Resteu 29 de 11.

$$r=-\frac{18}{24}$$

Redueix la fracció \frac{-18}{24} al màxim extraient i anul·lant 6.

$$r=-\frac{3}{4}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Sumeu 15 als dos costats de l'equació.

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

En restar -15 a si mateix s'obté 0.

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

Resteu -15 de 0.

$$12r^{2}-11r=15$$

Dividiu els dos costats per 12.

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

En dividir per 12 es desfà la multiplicació per 12.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

Redueix la fracció \frac{15}{12} al màxim extraient i anul·lant 3.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

Dividiu -\frac{11}{12}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{11}{24}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{11}{24} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{11}{24} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

Sumeu \frac{5}{4} i \frac{121}{576} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

Factor r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

Simplifiqueu.

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

Sumeu \frac{11}{24} als dos costats de l'equació.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$