Resol 12x^2-102x+160=0

$$12 { x }^{ 2 } -102x+160=0$$

Resoleu x

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}\approx 6,424664725$$

$$x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}\approx 2,075335275$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$12x^{2}-102x+160=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 12 per a, -102 per b i 160 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{\left(-102\right)^{2}-4\times 12\times 160}}{2\times 12}$$

Eleveu -102 al quadrat.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-4\times 12\times 160}}{2\times 12}$$

Multipliqueu -4 per 12.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-48\times 160}}{2\times 12}$$

Multipliqueu -48 per 160.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-7680}}{2\times 12}$$

Sumeu 10404 i -7680.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{2724}}{2\times 12}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 2724.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±2\sqrt{681}}{2\times 12}$$

El contrari de -102 és 102.

$$x=\frac{102±2\sqrt{681}}{2\times 12}$$

Multipliqueu 2 per 12.

$$x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24} quan ± és més. Sumeu 102 i 2\sqrt{681}.

$$x=\frac{2\sqrt{681}+102}{24}$$

Dividiu 102+2\sqrt{681} per 24.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24} quan ± és menys. Resteu 2\sqrt{681} de 102.

$$x=\frac{102-2\sqrt{681}}{24}$$

Dividiu 102-2\sqrt{681} per 24.

$$x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4} x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-102x+160=0$$

Resteu 160 als dos costats de l'equació.

$$12x^{2}-102x+160-160=-160$$

En restar 160 a si mateix s'obté 0.

$$12x^{2}-102x=-160$$

Dividiu els dos costats per 12.

$$\frac{12x^{2}-102x}{12}=-\frac{160}{12}$$

En dividir per 12 es desfà la multiplicació per 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{102}{12}\right)x=-\frac{160}{12}$$

Redueix la fracció \frac{-102}{12} al màxim extraient i anul·lant 6.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x=-\frac{160}{12}$$

Redueix la fracció \frac{-160}{12} al màxim extraient i anul·lant 4.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x=-\frac{40}{3}$$

Dividiu -\frac{17}{2}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{17}{4}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{17}{4} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}=-\frac{40}{3}+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{17}{4} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=-\frac{40}{3}+\frac{289}{16}$$

Sumeu -\frac{40}{3} i \frac{289}{16} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=\frac{227}{48}$$

Factor x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{227}{48}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{227}{48}}$$

Simplifiqueu.

$$x-\frac{17}{4}=\frac{\sqrt{681}}{12} x-\frac{17}{4}=-\frac{\sqrt{681}}{12}$$

Sumeu \frac{17}{4} als dos costats de l'equació.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4} x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$