Resol 12x^2+36x+27=0

$$12 { x }^{ 2 } +36x+27=0$$

Resoleu x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Passos amb factorització per agrupació

Dividiu els dos costats per 3.

$$4x^{2}+12x+9=0$$

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 4x^{2}+ax+bx+9. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=12 ab=4\times 9=36$$

Com que ab és positiu, a i b tenen el mateix inici de sessió. Atès que a+b és positiu, a i b són positius. Llista de totes les parelles d'enters que donen 36 de producte.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

La solució és la parella que atorga 12 de suma.

$$a=6 b=6$$

Reescriviu 4x^{2}+12x+9 com a \left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right).

$$\left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right)$$

2x al primer grup i 3 al segon grup.

$$2x\left(2x+3\right)+3\left(2x+3\right)$$

Simplifiqueu el terme comú 2x+3 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(2x+3\right)\left(2x+3\right)$$

Reescriviu com a quadrat del binomi.

$$\left(2x+3\right)^{2}$$

Per trobar la solució de l'equació, resoleu 2x+3=0.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$12x^{2}+36x+27=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 12 per a, 36 per b i 27 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\times 27}}{2\times 12}$$

Eleveu 36 al quadrat.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\times 27}}{2\times 12}$$

Multipliqueu -4 per 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\times 27}}{2\times 12}$$

Multipliqueu -48 per 27.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-1296}}{2\times 12}$$

Sumeu 1296 i -1296.

$$x=\frac{-36±\sqrt{0}}{2\times 12}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 0.

$$x=-\frac{36}{2\times 12}$$

Multipliqueu 2 per 12.

$$x=-\frac{36}{24}$$

Redueix la fracció \frac{-36}{24} al màxim extraient i anul·lant 12.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x+27=0$$

Resteu 27 als dos costats de l'equació.

$$12x^{2}+36x+27-27=-27$$

En restar 27 a si mateix s'obté 0.

$$12x^{2}+36x=-27$$

Dividiu els dos costats per 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=-\frac{27}{12}$$

En dividir per 12 es desfà la multiplicació per 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=-\frac{27}{12}$$

Dividiu 36 per 12.

$$x^{2}+3x=-\frac{27}{12}$$

Redueix la fracció \frac{-27}{12} al màxim extraient i anul·lant 3.

$$x^{2}+3x=-\frac{9}{4}$$

Dividiu 3, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir \frac{3}{2}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre \frac{3}{2} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Per elevar \frac{3}{2} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

Sumeu -\frac{9}{4} i \frac{9}{4} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=0$$

Factor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifiqueu.

$$x+\frac{3}{2}=0 x+\frac{3}{2}=0$$

Resteu \frac{3}{2} als dos costats de l'equació.

$$x=-\frac{3}{2} x=-\frac{3}{2}$$

L'equació ja s'ha resolt. Les solucions són les mateixes.

$$x=-\frac{3}{2}$$