Resol 1000x^2-590x-561=0

$$1000 { x }^{ 2 } -590x-561=0$$

Resoleu x

$$x=-\frac{51}{100}=-0,51$$

$$x = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1,1$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 1000x^{2}+ax+bx-561. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-590 ab=1000\left(-561\right)=-561000$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és negatiu, el número negatiu té un valor més absolut que el positiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -561000 de producte.

$$1,-561000 2,-280500 3,-187000 4,-140250 5,-112200 6,-93500 8,-70125 10,-56100 11,-51000 12,-46750 15,-37400 17,-33000 20,-28050 22,-25500 24,-23375 25,-22440 30,-18700 33,-17000 34,-16500 40,-14025 44,-12750 50,-11220 51,-11000 55,-10200 60,-9350 66,-8500 68,-8250 75,-7480 85,-6600 88,-6375 100,-5610 102,-5500 110,-5100 120,-4675 125,-4488 132,-4250 136,-4125 150,-3740 165,-3400 170,-3300 187,-3000 200,-2805 204,-2750 220,-2550 250,-2244 255,-2200 264,-2125 275,-2040 300,-1870 330,-1700 340,-1650 374,-1500 375,-1496 408,-1375 425,-1320 440,-1275 500,-1122 510,-1100 550,-1020 561,-1000 600,-935 660,-850 680,-825 748,-750$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$1-561000=-560999 2-280500=-280498 3-187000=-186997 4-140250=-140246 5-112200=-112195 6-93500=-93494 8-70125=-70117 10-56100=-56090 11-51000=-50989 12-46750=-46738 15-37400=-37385 17-33000=-32983 20-28050=-28030 22-25500=-25478 24-23375=-23351 25-22440=-22415 30-18700=-18670 33-17000=-16967 34-16500=-16466 40-14025=-13985 44-12750=-12706 50-11220=-11170 51-11000=-10949 55-10200=-10145 60-9350=-9290 66-8500=-8434 68-8250=-8182 75-7480=-7405 85-6600=-6515 88-6375=-6287 100-5610=-5510 102-5500=-5398 110-5100=-4990 120-4675=-4555 125-4488=-4363 132-4250=-4118 136-4125=-3989 150-3740=-3590 165-3400=-3235 170-3300=-3130 187-3000=-2813 200-2805=-2605 204-2750=-2546 220-2550=-2330 250-2244=-1994 255-2200=-1945 264-2125=-1861 275-2040=-1765 300-1870=-1570 330-1700=-1370 340-1650=-1310 374-1500=-1126 375-1496=-1121 408-1375=-967 425-1320=-895 440-1275=-835 500-1122=-622 510-1100=-590 550-1020=-470 561-1000=-439 600-935=-335 660-850=-190 680-825=-145 748-750=-2$$

La solució és la parella que atorga -590 de suma.

$$a=-1100 b=510$$

Reescriviu 1000x^{2}-590x-561 com a \left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right).

$$\left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right)$$

Simplifiqueu 100x al primer grup i 51 al segon grup.

$$100x\left(10x-11\right)+51\left(10x-11\right)$$

Simplifiqueu el terme comú 10x-11 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(10x-11\right)\left(100x+51\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu 10x-11=0 i 100x+51=0.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 1000 per a, -590 per b i -561 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{\left(-590\right)^{2}-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

Eleveu -590 al quadrat.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

Multipliqueu -4 per 1000.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

Multipliqueu -4000 per -561.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100+2244000}}{2\times 1000}$$

Sumeu 348100 i 2244000.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{2592100}}{2\times 1000}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 2592100.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±1610}{2\times 1000}$$

El contrari de -590 és 590.

$$x=\frac{590±1610}{2\times 1000}$$

Multipliqueu 2 per 1000.

$$x=\frac{590±1610}{2000}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{590±1610}{2000} quan ± és més. Sumeu 590 i 1610.

$$x=\frac{2200}{2000}$$

Redueix la fracció \frac{2200}{2000} al màxim extraient i anul·lant 200.

$$x=\frac{11}{10}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{590±1610}{2000} quan ± és menys. Resteu 1610 de 590.

$$x=-\frac{1020}{2000}$$

Redueix la fracció \frac{-1020}{2000} al màxim extraient i anul·lant 20.

$$x=-\frac{51}{100}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

Sumeu 561 als dos costats de l'equació.

$$1000x^{2}-590x-561-\left(-561\right)=-\left(-561\right)$$

En restar -561 a si mateix s'obté 0.

$$1000x^{2}-590x=-\left(-561\right)$$

Resteu -561 de 0.

$$1000x^{2}-590x=561$$

Dividiu els dos costats per 1000.

$$\frac{1000x^{2}-590x}{1000}=\frac{561}{1000}$$

En dividir per 1000 es desfà la multiplicació per 1000.

$$x^{2}+\left(-\frac{590}{1000}\right)x=\frac{561}{1000}$$

Redueix la fracció \frac{-590}{1000} al màxim extraient i anul·lant 10.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x=\frac{561}{1000}$$

Dividiu -\frac{59}{100}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{59}{200}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{59}{200} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{561}{1000}+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{59}{200} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{561}{1000}+\frac{3481}{40000}$$

Sumeu \frac{561}{1000} i \frac{3481}{40000} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{25921}{40000}$$

Factoritzeu x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot factoritzar com a \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{25921}{40000}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25921}{40000}}$$

Simplifiqueu.

$$x-\frac{59}{200}=\frac{161}{200} x-\frac{59}{200}=-\frac{161}{200}$$

Sumeu \frac{59}{200} als dos costats de l'equació.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$