Resol 10x^2+7x-12=0

$$10 x ^ { 2 } + 7 x - 12 = 0$$

Resoleu x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 10x^{2}+ax+bx-12. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=7 ab=10\left(-12\right)=-120$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és positiu, el número positiu té més valor absolut que el negatiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -120 de producte.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

La solució és la parella que atorga 7 de suma.

$$a=-8 b=15$$

Reescriviu 10x^{2}+7x-12 com a \left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right).

$$\left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right)$$

2x al primer grup i 3 al segon grup.

$$2x\left(5x-4\right)+3\left(5x-4\right)$$

Simplifiqueu el terme comú 5x-4 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu 5x-4=0 i 2x+3=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 10 per a, 7 per b i -12 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Eleveu 7 al quadrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Multipliqueu -4 per 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Multipliqueu -40 per -12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 10}$$

Sumeu 49 i 480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 10}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 529.

$$x=\frac{-7±23}{2\times 10}$$

Multipliqueu 2 per 10.

$$x=\frac{-7±23}{20}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-7±23}{20} quan ± és més. Sumeu -7 i 23.

$$x=\frac{16}{20}$$

Redueix la fracció \frac{16}{20} al màxim extraient i anul·lant 4.

$$x=\frac{4}{5}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-7±23}{20} quan ± és menys. Resteu 23 de -7.

$$x=-\frac{30}{20}$$

Redueix la fracció \frac{-30}{20} al màxim extraient i anul·lant 10.

$$x=-\frac{3}{2}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Sumeu 12 als dos costats de l'equació.

$$10x^{2}+7x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

En restar -12 a si mateix s'obté 0.

$$10x^{2}+7x=-\left(-12\right)$$

Resteu -12 de 0.

$$10x^{2}+7x=12$$

Dividiu els dos costats per 10.

$$\frac{10x^{2}+7x}{10}=\frac{12}{10}$$

En dividir per 10 es desfà la multiplicació per 10.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{12}{10}$$

Redueix la fracció \frac{12}{10} al màxim extraient i anul·lant 2.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{6}{5}$$

Dividiu \frac{7}{10}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir \frac{7}{20}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre \frac{7}{20} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}$$

Per elevar \frac{7}{20} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{6}{5}+\frac{49}{400}$$

Sumeu \frac{6}{5} i \frac{49}{400} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{529}{400}$$

Factor x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{529}{400}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{400}}$$

Simplifiqueu.

$$x+\frac{7}{20}=\frac{23}{20} x+\frac{7}{20}=-\frac{23}{20}$$

Resteu \frac{7}{20} als dos costats de l'equació.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$