Resol 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

Resoleu k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0,1$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 10k^{2}+ak+bk-1. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és positiu, el número positiu té més valor absolut que el negatiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -10 de producte.

$$-1,10 -2,5$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

La solució és la parella que atorga 9 de suma.

$$a=-1 b=10$$

Reescriviu 10k^{2}+9k-1 com a \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right).

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Simplifiqueu k a 10k^{2}-k.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Simplifiqueu el terme comú 10k-1 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu 10k-1=0 i k+1=0.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 10 per a, 9 per b i -1 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Eleveu 9 al quadrat.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Multipliqueu -4 per 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Multipliqueu -40 per -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Sumeu 81 i 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 121.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

Multipliqueu 2 per 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Ara resoleu l'equació k=\frac{-9±11}{20} quan ± és més. Sumeu -9 i 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

Redueix la fracció \frac{2}{20} al màxim extraient i anul·lant 2.

$$k=\frac{1}{10}$$

Ara resoleu l'equació k=\frac{-9±11}{20} quan ± és menys. Resteu 11 de -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

Dividiu -20 per 20.

$$k=-1$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Sumeu 1 als dos costats de l'equació.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

En restar -1 a si mateix s'obté 0.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

Resteu -1 de 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

Dividiu els dos costats per 10.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

En dividir per 10 es desfà la multiplicació per 10.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

Dividiu \frac{9}{10}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir \frac{9}{20}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre \frac{9}{20} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Per elevar \frac{9}{20} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Sumeu \frac{1}{10} i \frac{81}{400} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Factor k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Simplifiqueu.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Resteu \frac{9}{20} als dos costats de l'equació.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$