Resol -4x^2+20x-47=0

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

Resoleu x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2,5-2,34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2,5+2,34520788i$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu -4 per a, 20 per b i -47 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Eleveu 20 al quadrat.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multipliqueu -4 per -4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multipliqueu 16 per -47.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

Sumeu 400 i -752.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

Calculeu l'arrel quadrada de -352.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

Multipliqueu 2 per -4.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} quan ± és més. Sumeu -20 i 4i\sqrt{22}.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

Dividiu -20+4i\sqrt{22} per -8.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} quan ± és menys. Resteu 4i\sqrt{22} de -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

Dividiu -20-4i\sqrt{22} per -8.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Sumeu 47 als dos costats de l'equació.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

En restar -47 a si mateix s'obté 0.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

Resteu -47 de 0.

$$-4x^{2}+20x=47$$

Dividiu els dos costats per -4.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

En dividir per -4 es desfà la multiplicació per -4.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

Dividiu 20 per -4.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

Dividiu 47 per -4.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

Dividiu -5, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{5}{2}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{5}{2} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{5}{2} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

Sumeu -\frac{47}{4} i \frac{25}{4} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

Factor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

Simplifiqueu.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

Sumeu \frac{5}{2} als dos costats de l'equació.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$