Resol -3x^2+5x+2geq0

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x + 2 \geq 0$$

Resoleu x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Multipliqueu la desigualtat per -1 per fer que el coeficient de la màxima potència a -3x^{2}+5x+2 sigui positiu. Com que -1 és negatiu, es canvia la direcció de la desigualtat.

$$3x^{2}-5x-2\leq 0$$

Per resoldre la desigualtat, factoritzeu el costat esquerre. El polinomi quadràtic es pot factoritzar amb la transformació ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), on x_{1} i x_{2} són les solucions de l'equació quadràtica ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}-5x-2=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu 3 per a, -5 per b i -2 per c a la fórmula quadràtica.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Feu els càlculs.

$$x=\frac{5±7}{6}$$

Resoleu l'equació x=\frac{5±7}{6} considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$x=2 x=-\frac{1}{3}$$

Reescriviu la desigualtat mitjançant les solucions obtingudes.

$$3\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)\leq 0$$

Perquè el producte sigui ≤0, un dels valors x-2 i x+\frac{1}{3} ha de ser ≥0 i l'altre, ≤0. Considereu el cas quan x-2\geq 0 i x+\frac{1}{3}\leq 0.

$$x-2\geq 0 x+\frac{1}{3}\leq 0$$

Això és fals per a qualsevol x.

$$x\in \emptyset$$

Considereu el cas quan x-2\leq 0 i x+\frac{1}{3}\geq 0.

$$x+\frac{1}{3}\geq 0 x-2\leq 0$$

La solució que satisfà les dues desigualtats és x\in \left[-\frac{1}{3},2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

La solució final és la unió de les solucions obtingudes.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$