Resol -2x^2+30x-72geq0

$$- 2 x ^ { 2 } + 30 x - 72 \geq 0$$

Resoleu x

$$x\in \begin{bmatrix}3,12\end{bmatrix}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Multipliqueu la desigualtat per -1 per fer que el coeficient de la màxima potència a -2x^{2}+30x-72 sigui positiu. Com que -1 és negatiu, es canvia la direcció de la desigualtat.

$$2x^{2}-30x+72\leq 0$$

Per resoldre la desigualtat, factoritzeu el costat esquerre. El polinomi quadràtic es pot factoritzar amb la transformació ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), on x_{1} i x_{2} són les solucions de l'equació quadràtica ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-30x+72=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu 2 per a, -30 per b i 72 per c a la fórmula quadràtica.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 2\times 72}}{2\times 2}$$

Feu els càlculs.

$$x=\frac{30±18}{4}$$

Resoleu l'equació x=\frac{30±18}{4} considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$x=12 x=3$$

Reescriviu la desigualtat mitjançant les solucions obtingudes.

$$2\left(x-12\right)\left(x-3\right)\leq 0$$

Perquè el producte sigui ≤0, un dels valors x-12 i x-3 ha de ser ≥0 i l'altre, ≤0. Considereu el cas quan x-12\geq 0 i x-3\leq 0.

$$x-12\geq 0 x-3\leq 0$$

Això és fals per a qualsevol x.

$$x\in \emptyset$$

Considereu el cas quan x-12\leq 0 i x-3\geq 0.

$$x-3\geq 0 x-12\leq 0$$

La solució que satisfà les dues desigualtats és x\in \left[3,12\right].

$$x\in \begin{bmatrix}3,12\end{bmatrix}$$

La solució final és la unió de les solucions obtingudes.

$$x\in \begin{bmatrix}3,12\end{bmatrix}$$