Resol -2x^2+12x-14>0

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

Resoleu x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Multipliqueu la desigualtat per -1 per fer que el coeficient de la màxima potència a -2x^{2}+12x-14 sigui positiu. Com que -1 és negatiu, es canvia la direcció de la desigualtat.

$$2x^{2}-12x+14<0$$

Per resoldre la desigualtat, factoritzeu el costat esquerre. El polinomi quadràtic es pot factoritzar amb la transformació ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), on x_{1} i x_{2} són les solucions de l'equació quadràtica ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-12x+14=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu 2 per a, -12 per b i 14 per c a la fórmula quadràtica.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Feu els càlculs.

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

Resoleu l'equació x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4} considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Reescriviu la desigualtat mitjançant les solucions obtingudes.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Perquè el producte sigui negatiu, x-\left(\sqrt{2}+3\right) i x-\left(3-\sqrt{2}\right) han de ser de signe oposat. Considereu el cas en què x-\left(\sqrt{2}+3\right) és positiu i x-\left(3-\sqrt{2}\right) és negatiu.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Això és fals per a qualsevol x.

$$x\in \emptyset$$

Considereu el cas en què x-\left(3-\sqrt{2}\right) és positiu i x-\left(\sqrt{2}+3\right) és negatiu.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

La solució que satisfà les dues desigualtats és x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

La solució final és la unió de les solucions obtingudes.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$