Resol (x-3)^2<2

$$( x - 3 ) ^ { 2 } < 2$$

Resoleu x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Passos de solució

Per resoldre la desigualtat, factoritzeu el costat esquerre. El polinomi quadràtic es pot factoritzar amb la transformació ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), on x_{1} i x_{2} són les solucions de l'equació quadràtica ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu 1 per a, -6 per b i 7 per c a la fórmula quadràtica.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

Feu els càlculs.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2}$$

Resoleu l'equació x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2} considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Reescriviu la desigualtat mitjançant les solucions obtingudes.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Perquè el producte sigui negatiu, x-\left(\sqrt{2}+3\right) i x-\left(3-\sqrt{2}\right) han de ser de signe oposat. Considereu el cas en què x-\left(\sqrt{2}+3\right) és positiu i x-\left(3-\sqrt{2}\right) és negatiu.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Això és fals per a qualsevol x.

$$x\in \emptyset$$

Considereu el cas en què x-\left(3-\sqrt{2}\right) és positiu i x-\left(\sqrt{2}+3\right) és negatiu.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

La solució que satisfà les dues desigualtats és x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

La solució final és la unió de les solucions obtingudes.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$