Resol (x-3/2)^2+2x(x-1/2)<3(x^2+1/4)

$$( x - \frac { 3 } { 2 } ) ^ { 2 } + 2 x ( x - \frac { 1 } { 2 } ) < 3 ( x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } )$$

Resoleu x

$$x>\frac{3}{8}$$

Passos de solució

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}+2x\left(x-\frac{1}{2}\right)<3\left(x^{2}+\frac{1}{4}\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 2x per x-\frac{1}{2}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}+2x^{2}-x<3\left(x^{2}+\frac{1}{4}\right)$$

Combineu x^{2} i 2x^{2} per obtenir 3x^{2}.

$$3x^{2}-3x+\frac{9}{4}-x<3\left(x^{2}+\frac{1}{4}\right)$$

Combineu -3x i -x per obtenir -4x.

$$3x^{2}-4x+\frac{9}{4}<3\left(x^{2}+\frac{1}{4}\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 3 per x^{2}+\frac{1}{4}.

$$3x^{2}-4x+\frac{9}{4}<3x^{2}+\frac{3}{4}$$

Resteu 3x^{2} en tots dos costats.

$$3x^{2}-4x+\frac{9}{4}-3x^{2}<\frac{3}{4}$$

Combineu 3x^{2} i -3x^{2} per obtenir 0.

$$-4x+\frac{9}{4}<\frac{3}{4}$$

Resteu \frac{9}{4} en tots dos costats.

$$-4x<\frac{3}{4}-\frac{9}{4}$$

Resteu \frac{3}{4} de \frac{9}{4} per obtenir -\frac{3}{2}.

$$-4x<-\frac{3}{2}$$

Dividiu els dos costats per -4. Com que -4 és negatiu, es canvia la direcció de la desigualtat.

$$x>\frac{-\frac{3}{2}}{-4}$$

Expresseu \frac{-\frac{3}{2}}{-4} com a fracció senzilla.

$$x>\frac{-3}{2\left(-4\right)}$$

Multipliqueu 2 per -4 per obtenir -8.

$$x>\frac{-3}{-8}$$

La fracció \frac{-3}{-8} es pot simplificar a \frac{3}{8} traient el signe negatiu tant del numerador com del denominador.

$$x>\frac{3}{8}$$