Resol (5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

Resoleu x

$$x=-1$$

$$x=2$$

Passos amb factorització per agrupació

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Considereu \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). La multiplicació es pot transformar en una diferència de quadrats fent servir la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleveu 1 al quadrat.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Expandiu \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Calculeu 2 elevat a 2 per obtenir 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Per trobar l'oposat de 4x^{2}-1, cerqueu l'oposat de cada terme.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Combineu 25x^{2} i -4x^{2} per obtenir 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Sumeu 4 més 1 per obtenir 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Resteu 47 en tots dos costats.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Resteu 5 de 47 per obtenir -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Resteu x en tots dos costats.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Combineu -20x i -x per obtenir -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Dividiu els dos costats per 21.

$$x^{2}-x-2=0$$

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a x^{2}+ax+bx-2. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és negatiu, el número negatiu té un valor més absolut que el positiu. L'únic parell d'aquest tipus és la solució del sistema.

$$a=-2 b=1$$

Reescriviu x^{2}-x-2 com a \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

Simplifiqueu x a x^{2}-2x.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

Simplifiqueu el terme comú x-2 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu x-2=0 i x+1=0.

$$x=2 x=-1$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Considereu \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). La multiplicació es pot transformar en una diferència de quadrats fent servir la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleveu 1 al quadrat.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Expandiu \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Calculeu 2 elevat a 2 per obtenir 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Per trobar l'oposat de 4x^{2}-1, cerqueu l'oposat de cada terme.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Combineu 25x^{2} i -4x^{2} per obtenir 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Sumeu 4 més 1 per obtenir 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Resteu 47 en tots dos costats.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Resteu 5 de 47 per obtenir -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Resteu x en tots dos costats.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Combineu -20x i -x per obtenir -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 21 per a, -21 per b i -42 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Eleveu -21 al quadrat.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Multipliqueu -4 per 21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Multipliqueu -84 per -42.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

Sumeu 441 i 3528.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 3969.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

El contrari de -21 és 21.

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

Multipliqueu 2 per 21.

$$x=\frac{21±63}{42}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{21±63}{42} quan ± és més. Sumeu 21 i 63.

$$x=\frac{84}{42}$$

Dividiu 84 per 42.

$$x=2$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{21±63}{42} quan ± és menys. Resteu 63 de 21.

$$x=-\frac{42}{42}$$

Dividiu -42 per 42.

$$x=-1$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=2 x=-1$$

Passos per calcular el quadrat

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Considereu \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). La multiplicació es pot transformar en una diferència de quadrats fent servir la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleveu 1 al quadrat.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Expandiu \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Calculeu 2 elevat a 2 per obtenir 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Per trobar l'oposat de 4x^{2}-1, cerqueu l'oposat de cada terme.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Combineu 25x^{2} i -4x^{2} per obtenir 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Sumeu 4 més 1 per obtenir 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Resteu x en tots dos costats.

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

Combineu -20x i -x per obtenir -21x.

$$21x^{2}-21x+5=47$$

Resteu 5 en tots dos costats.

$$21x^{2}-21x=47-5$$

Resteu 47 de 5 per obtenir 42.

$$21x^{2}-21x=42$$

Dividiu els dos costats per 21.

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

En dividir per 21 es desfà la multiplicació per 21.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

Dividiu -21 per 21.

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

Dividiu 42 per 21.

$$x^{2}-x=2$$

Dividiu -1, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{1}{2}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{1}{2} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{1}{2} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Sumeu 2 i \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplifiqueu.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Sumeu \frac{1}{2} als dos costats de l'equació.

$$x=2 x=-1$$