Resol (4sqrt{3}+frac{xsqrt{3}}{2})^2+x^2/4=156

$$( 4 \sqrt { 3 } + \frac { x \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 156$$

Resoleu x

$$x=-18$$

$$x=6$$

Passos amb factorització per agrupació

Multipliqueu els dos costats de l'equació per 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

L'arrel quadrada de \sqrt{3} és 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Multipliqueu 16 per 3 per obtenir 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Cancel·leu el factor comú més gran 2 a 8 i 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Per elevar \frac{x\sqrt{3}}{2} a una potència, eleveu el numerador i el denominador a la potència en qüestió i dividiu-los.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Per afegir o restar les expressions, amplieu-les perquè els denominadors coincideixin. Multipliqueu 48 per \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Com que \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} i \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} tenen el mateix denominador, afegiu-los mitjançant l'addició dels seus numeradors.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 4 per \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calculeu 2 elevat a 2 per obtenir 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Multipliqueu 48 per 4 per obtenir 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Expandiu \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

L'arrel quadrada de \sqrt{3} és 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calculeu 2 elevat a 2 per obtenir 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Expresseu 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} com a fracció senzilla.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Anul·leu 4 i 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

L'arrel quadrada de \sqrt{3} és 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Multipliqueu 16 per 3 per obtenir 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Combineu x^{2}\times 3 i x^{2} per obtenir 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Resteu 624 en tots dos costats.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Resteu 192 de 624 per obtenir -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Dividiu els dos costats per 4.

$$-108+x^{2}+12x=0$$

Torneu a ordenar el polinomi per posar-lo en forma estàndard. Poseu els termes en ordre, de la potència més gran a la més petita.

$$x^{2}+12x-108=0$$

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a x^{2}+ax+bx-108. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=12 ab=1\left(-108\right)=-108$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és positiu, el número positiu té més valor absolut que el negatiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -108 de producte.

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

La solució és la parella que atorga 12 de suma.

$$a=-6 b=18$$

Reescriviu x^{2}+12x-108 com a \left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)$$

x al primer grup i 18 al segon grup.

$$x\left(x-6\right)+18\left(x-6\right)$$

Simplifiqueu el terme comú x-6 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(x+18\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu x-6=0 i x+18=0.

$$x=6 x=-18$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Multipliqueu els dos costats de l'equació per 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

L'arrel quadrada de \sqrt{3} és 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Multipliqueu 16 per 3 per obtenir 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Cancel·leu el factor comú més gran 2 a 8 i 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Per elevar \frac{x\sqrt{3}}{2} a una potència, eleveu el numerador i el denominador a la potència en qüestió i dividiu-los.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Per afegir o restar les expressions, amplieu-les perquè els denominadors coincideixin. Multipliqueu 48 per \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Com que \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} i \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} tenen el mateix denominador, afegiu-los mitjançant l'addició dels seus numeradors.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 4 per \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calculeu 2 elevat a 2 per obtenir 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Multipliqueu 48 per 4 per obtenir 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Expandiu \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

L'arrel quadrada de \sqrt{3} és 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calculeu 2 elevat a 2 per obtenir 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Expresseu 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} com a fracció senzilla.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Anul·leu 4 i 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

L'arrel quadrada de \sqrt{3} és 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Multipliqueu 16 per 3 per obtenir 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Combineu x^{2}\times 3 i x^{2} per obtenir 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Resteu 624 en tots dos costats.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Resteu 192 de 624 per obtenir -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$4x^{2}+48x-432=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 4 per a, 48 per b i -432 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Eleveu 48 al quadrat.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Multipliqueu -4 per 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Multipliqueu -16 per -432.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+6912}}{2\times 4}$$

Sumeu 2304 i 6912.

$$x=\frac{-48±\sqrt{9216}}{2\times 4}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 9216.

$$x=\frac{-48±96}{2\times 4}$$

Multipliqueu 2 per 4.

$$x=\frac{-48±96}{8}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-48±96}{8} quan ± és més. Sumeu -48 i 96.

$$x=\frac{48}{8}$$

Dividiu 48 per 8.

$$x=6$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-48±96}{8} quan ± és menys. Resteu 96 de -48.

$$x=-\frac{144}{8}$$

Dividiu -144 per 8.

$$x=-18$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=6 x=-18$$

Passos per calcular el quadrat

Multipliqueu els dos costats de l'equació per 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

L'arrel quadrada de \sqrt{3} és 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Multipliqueu 16 per 3 per obtenir 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Cancel·leu el factor comú més gran 2 a 8 i 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Per elevar \frac{x\sqrt{3}}{2} a una potència, eleveu el numerador i el denominador a la potència en qüestió i dividiu-los.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Per afegir o restar les expressions, amplieu-les perquè els denominadors coincideixin. Multipliqueu 48 per \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Com que \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} i \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} tenen el mateix denominador, afegiu-los mitjançant l'addició dels seus numeradors.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 4 per \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calculeu 2 elevat a 2 per obtenir 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Multipliqueu 48 per 4 per obtenir 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Expandiu \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

L'arrel quadrada de \sqrt{3} és 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calculeu 2 elevat a 2 per obtenir 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Expresseu 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} com a fracció senzilla.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Anul·leu 4 i 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

L'arrel quadrada de \sqrt{3} és 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Multipliqueu 16 per 3 per obtenir 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Combineu x^{2}\times 3 i x^{2} per obtenir 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Resteu 192 en tots dos costats.

$$4x^{2}+48x=624-192$$

Resteu 624 de 192 per obtenir 432.

$$4x^{2}+48x=432$$

Dividiu els dos costats per 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{432}{4}$$

En dividir per 4 es desfà la multiplicació per 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{432}{4}$$

Dividiu 48 per 4.

$$x^{2}+12x=\frac{432}{4}$$

Dividiu 432 per 4.

$$x^{2}+12x=108$$

Dividiu 12, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir 6. A continuació, sumeu el quadrat del nombre 6 als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}+12x+6^{2}=108+6^{2}$$

Eleveu 6 al quadrat.

$$x^{2}+12x+36=108+36$$

Sumeu 108 i 36.

$$x^{2}+12x+36=144$$

Factor x^{2}+12x+36. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=144$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

Simplifiqueu.

$$x+6=12 x+6=-12$$

Resteu 6 als dos costats de l'equació.

$$x=6 x=-18$$