Resol (2x-3)^2-(x+5)^2=-23

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

Resoleu x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=7$$

Passos amb factorització per agrupació

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Per trobar l'oposat de x^{2}+10x+25, cerqueu l'oposat de cada terme.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Combineu 4x^{2} i -x^{2} per obtenir 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Combineu -12x i -10x per obtenir -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Resteu 9 de 25 per obtenir -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Afegiu 23 als dos costats.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Sumeu -16 més 23 per obtenir 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 3x^{2}+ax+bx+7. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

Com que ab és positiu, a i b tenen el mateix inici de sessió. Com que a+b és negatiu, a i b són ambdós negatius. Llista de totes les parelles d'enters que donen 21 de producte.

$$-1,-21 -3,-7$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

La solució és la parella que atorga -22 de suma.

$$a=-21 b=-1$$

Reescriviu 3x^{2}-22x+7 com a \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right).

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

3x al primer grup i -1 al segon grup.

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

Simplifiqueu el terme comú x-7 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu x-7=0 i 3x-1=0.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Per trobar l'oposat de x^{2}+10x+25, cerqueu l'oposat de cada terme.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Combineu 4x^{2} i -x^{2} per obtenir 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Combineu -12x i -10x per obtenir -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Resteu 9 de 25 per obtenir -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Afegiu 23 als dos costats.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Sumeu -16 més 23 per obtenir 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 3 per a, -22 per b i 7 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Eleveu -22 al quadrat.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Multipliqueu -4 per 3.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

Multipliqueu -12 per 7.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

Sumeu 484 i -84.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 400.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

El contrari de -22 és 22.

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

Multipliqueu 2 per 3.

$$x=\frac{22±20}{6}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{22±20}{6} quan ± és més. Sumeu 22 i 20.

$$x=\frac{42}{6}$$

Dividiu 42 per 6.

$$x=7$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{22±20}{6} quan ± és menys. Resteu 20 de 22.

$$x=\frac{2}{6}$$

Redueix la fracció \frac{2}{6} al màxim extraient i anul·lant 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Passos per calcular el quadrat

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Per trobar l'oposat de x^{2}+10x+25, cerqueu l'oposat de cada terme.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Combineu 4x^{2} i -x^{2} per obtenir 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Combineu -12x i -10x per obtenir -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Resteu 9 de 25 per obtenir -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Afegiu 16 als dos costats.

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

Sumeu -23 més 16 per obtenir -7.

$$3x^{2}-22x=-7$$

Dividiu els dos costats per 3.

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

En dividir per 3 es desfà la multiplicació per 3.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Dividiu -\frac{22}{3}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{11}{3}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{11}{3} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{11}{3} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

Sumeu -\frac{7}{3} i \frac{121}{9} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Simplifiqueu.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

Sumeu \frac{11}{3} als dos costats de l'equació.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$