Resol (2x)^2-12(x+1)geq0

$$( 2 x ) ^ { 2 } - 12 ( x + 1 ) \geq 0$$

Resoleu x

$$x\in (-\infty,\frac{3-\sqrt{21}}{2}]\cup [\frac{\sqrt{21}+3}{2},\infty)$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Expandiu \left(2x\right)^{2}.

$$2^{2}x^{2}-12\left(x+1\right)\geq 0$$

Calculeu 2 elevat a 2 per obtenir 4.

$$4x^{2}-12\left(x+1\right)\geq 0$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar -12 per x+1.

$$4x^{2}-12x-12\geq 0$$

Per resoldre la desigualtat, factoritzeu el costat esquerre. El polinomi quadràtic es pot factoritzar amb la transformació ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), on x_{1} i x_{2} són les solucions de l'equació quadràtica ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-12x-12=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu 4 per a, -12 per b i -12 per c a la fórmula quadràtica.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-12\right)}}{2\times 4}$$

Feu els càlculs.

$$x=\frac{12±4\sqrt{21}}{8}$$

Resoleu l'equació x=\frac{12±4\sqrt{21}}{8} considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

Reescriviu la desigualtat mitjançant les solucions obtingudes.

$$4\left(x-\frac{\sqrt{21}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{21}}{2}\right)\geq 0$$

Perquè el producte sigui ≥0, tant x-\frac{\sqrt{21}+3}{2} com x-\frac{3-\sqrt{21}}{2} han de ser ≤0 o ambdós ≥0. Considereu el cas en què x-\frac{\sqrt{21}+3}{2} i x-\frac{3-\sqrt{21}}{2} són ≤0.

$$x-\frac{\sqrt{21}+3}{2}\leq 0 x-\frac{3-\sqrt{21}}{2}\leq 0$$

La solució que satisfà les dues desigualtats és x\leq \frac{3-\sqrt{21}}{2}.

$$x\leq \frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

Considereu el cas en què x-\frac{\sqrt{21}+3}{2} i x-\frac{3-\sqrt{21}}{2} són ≥0.

$$x-\frac{3-\sqrt{21}}{2}\geq 0 x-\frac{\sqrt{21}+3}{2}\geq 0$$

La solució que satisfà les dues desigualtats és x\geq \frac{\sqrt{21}+3}{2}.

$$x\geq \frac{\sqrt{21}+3}{2}$$

La solució final és la unió de les solucions obtingudes.

$$x\leq \frac{3-\sqrt{21}}{2}\text{; }x\geq \frac{\sqrt{21}+3}{2}$$